Expresar las derivadas parciales oqjor y oqjo en

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Expresar las derivadas parciales oq;jor y oq;jo() en función de las derivadas par- ciales af/ax y af/ay. Solución. Utilicemos la regla de la cadena en la forma (8.27), poniendo (r, rt) en lugar de (s, t), y q;en lugar de h. Las ecuaciones x = r cos (), y = r senf nos dan ox - = cos () or ' ay - = sen f or ' ox - = -r senf o() , ay - = r cos () o() . Sustituyendo esas fórmulas en (8.27) obtenemos (8.28) oq; of of - = - cos () + - serié or OX ay' oq; of of - = - r - sen() + r - cos (). o() ox ay Estas son las fórmulas pedidas correspondientes a oq;jor y orpjo(). EJEMPLO 3. Derivadas parciales de segundo orden. Continuando el ejem- plo 2, expresar la derivada parcial de segundo orden 02q;jO()2 en función de las derivadas parciales de f. Solución. Comencemos con la fórmula que da oq;jo() en (8.28) y derivemos
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Forma matricial de la regla de la cadena 335 respecto a O, considerando r como una constante. En el segundo miembro hay dos términos, cada uno de los cuales debe derivarse como producto. Obtenemos así ¡]2rp = -r 01 o(senO) _ rsenO ~ (0 1 ) + r 01 o(cos O) + r cos O~ (01) 00 2 ox 00 00 ox ay 00 00 ay (8.29) 01 o (Of) 01 o (01) = -r cos 0-- r senO - - - r sené - + r cos O- - . ox 08 OX ay 00 ay Para calcular las derivadas de al/ax y af /ay respecto a 8 debe tenerse en cuenta que como funciones de r y O, af/ax y af/ay son funciones compuestas dadas por 01 = D¡f(r cos O, r senó) OX y of - = Dd(r cos O, r senO). ay Por consiguiente, sus derivadas respecto a O tienen que determinarse con la regla de la cadena. Apliquemos otra vez (8.27), reemplazando I por DI!, con lo que se obtiene ~(01) = o(D¡f)ox + o(D¡f)ay = 0 2 1 (-rsenO) + 0'1 (rcosO). 00 OX ox 00 ay 00 ox 2 ay ox Del mismo modo, aplicando (8.27) reemplazando f por Dd, encontramos o (Of) o(Dd) ox o(Dd) ay 0'1 0'1 00 oy = ~ 00 + ay 00 = ox ay (-rsen O) + oy2 (r cos O). Cuando estas fórmulas se aplican en (8.29) obtenemos 02cp of 2 2 0'1 2 02f -2 = - r cos O- + r sen O- - r sen e cos o -- oe ox ox 2 ay ox e of 2 02f 2 2 02f - r sen - - r sen ()cos ()-- + reos e - . ay OX ay oy2 Esta es la fórmula que deseábamos para 02cp/O(}2. Fórmulas análogas para las derivadas parciales segundas 02cp/or 2 , 02cp/(or 00), y 02cp/(00 or) se proponen en el ejercicio 5 de la próxima sección.
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336 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales 8.22 Ejercicios En estos ejercicios puede suponerse la diferenciabilidad de todas las funciones que se consideran. 1. La sustitución t = g(x,y) convierte F(t) en I(x,y), siendo I(x,y) = F[g(x,y)]. a) Demostrar que ag - = F'[g(x,y)]- ax ax y a¡, ag ay = F [g(x, y)] ay . b) Considérese el caso particular F(t) = esen t, g(x, y) = cos (x'- + y'). Calcular al/ax y al/ay utilizando las fórmulas del apartado a). Comprobar el resultado, determinando I(x, y) explícitamente en función de x e y, y calculando directamente al/ax y al/ay a partir de l. 2. La sustitución u = (x - y)/2, v = (x + y)/2 cambia f(u, v) en Pi», y). Aplicar en forma adecuada la regla de la cadena para expresar las derivadas parciales aFfax y aF /ay en función de las derivadas parciales al/au y al/av.
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