est un op\u00e9rateur autoadjoint \u02c6A a n \u03d5 n \u02c6A \u03d5 n \u03d5 n\u03d5 n \u03d5 n \u02c6 A \u03d5 n \u03d5n \u03d5 n a n

Est un opérateur autoadjoint ˆa a n ϕ n ˆa ϕ n

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est un opérateur autoadjoint ˆ A a n = ϕ n ˆ A ϕ n ϕ n ϕ n = ϕ n ˆ A + ϕ n ϕ n ϕ n = a n * Les valeurs propres d’un opérateur autoadjoint sont réelles Spectre : ensemble des valeurs propres
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ˆ A ϕ i = a i ϕ i ϕ i ˆ A ϕ j Opérateurs dans l’espace de Hilbert ˆ A ϕ j = a j ϕ j = ϕ i ˆ A ϕ j ( ) = ϕ i ˆ A ( ) ϕ j a i a j ϕ i ϕ j = 0 Deux vecteurs propres correspondants à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux . = a j ϕ i ϕ j = a i ϕ i ϕ j
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ˆ A ϕ n = a i ϕ n n 1,..., N { } Opérateurs dans l’espace de Hilbert a i : dégénérescence d’ordre N
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ϕ ϕ ! r , t ( ) ϕ 1 ϕ 2 ϕ 1 * ! r , t ( ) ϕ 2 ! r , t ( ) " 3 d 3 r ϕ 2 = ϕ ϕ ϕ ! r , t ( ) " 3 2 d 3 r a = ϕ ˆ A ϕ ϕ * ! r , t ( ) ˆ A ϕ ! r , t ( ) " 3 d 3 r a n = ϕ ˆ A n ϕ ϕ * ! r , t ( ) ˆ A n ϕ ! r , t ( ) " 3 d 3 r Formalisme de Dirac Fonction d’onde Opérateurs dans l’espace de Hilbert
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Opérateurs dans l’espace de Hilbert Les valeurs propres d’un opérateur autoadjoint sont réelles Deux vecteurs propres correspondants à deux valeurs propres différentes sont orthogonaux.
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Références bibliographiques: 1)J.L. Basdevant et J. Dalibard, « Mécanique quantique », Les Éditions de l’École polytechnique. 2)C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, « Mécanique quantique », Tome I, Hermann. 3)P.A.M. Dirac, « Les principes de la mécanique quantique », Presses polytechniques et universitaires romandes. 4)A. Messiah, « Mécanique quantique », Tome 1, Dunod.
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Tournage et montage : Antoine Lefrère, Ecole Polytechnique Coordination projet: Davide Boschetto et Eric Ventroeyen Assistance pédagogique : Eric Vantroeyen, Ecole Polytechnique Scénario : Davide Boschetto, ENSTA ParisTech Tourné à l’École Polytechnique
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Produit par l’ENSTA ParisTech
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MOOC Introduction à la Physique Quantique Davide Boschetto Transparents de la vidéo 4.C
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E H : Espace de Hilbert, complet et séparable Base hilbertienne Existence de bases hilbertiennes dénombrables
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n , n = 1,2,... { } ψ = C n n n C n = n ψ m ψ = C n m n n = C n δ mn n = C m ψ = C n * n n C n * = ψ n ψ m = C n * n m n = C n * δ mn n = C m * m n = δ mn m , n 1,2,... { } Base hilbertienne
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n , n = 1,2,... { } ψ ψ = C n 2 n m n = δ mn m , n 1,2,... { } ψ = C n n n ψ = C n * n n Base hilbertienne
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ϕ = B m m m ϕ ψ = B m * m m C n n n = B n * C n n n , n = 1,2,... { } m n = δ mn m , n 1,2,... { } ψ = C n n n Base hilbertienne
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α β α β ( ) ψ = α β ψ = λ α λ = β ψ Base hilbertienne
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