23 ring pembagian division ring dan field defenisi 3

This preview shows page 9 - 13 out of 17 pages.

2.3 Ring Pembagian (Division Ring) dan FieldDefenisi 3Suatu ring dinamakan ring pembagian ataudivisionring jika :1). Banyak unsurnya lebih dari satu2). Memiliki unsur kesatuan ( dilambangkan dengan 1 )3).0x1xRRsedemikian sehingga111xxxx, x disebutunit dari R.Defenisi 4Suatu ring pembagian yang komutatif disebut lapangan atau fieldLemma 1AndaikanRadalah ring dengan unsur kesatuan1. JikaaRadalah suatu unitmakaabukan suatu pembagi nol.6
Bukti:Ambil sebarangaRdenganaadalah suatu unit dariR. Akibatnya terdapat1aRsedemikian hingga1..11aaaa. AmbilbRsehingga0.bamaka.00.)..(.111abaabbDiperoleh0b, sehinggaabukanpembagi nol.Teorema 2Suatu ring adalah ring pembagian jika dan hanya jika,.0Rmerupakan grup.Bukti:Ada dua pernyataan yang akan dibuktikan yaitu :1.Jika,.,Rmerupakan ring pembagian maka,.0Rgrup2.JikaRmerupakan ring dan,.0Radalah grup maka,.,Rmerupakanring pembagian.Bukti yang pertama:7
Andaikan,.,Rmerupakan ring pembagian. Akan ditunjukkan bahwa,.0Rmerupakan grup. Dari teorema diperolehRadalah RTPN, akibatnya berlaku sifat0a,0bRmaka0ab(aksioma pertama dipenuhi)1R−{0}karena unsurnya lebih dari satu.aRa1Ra.a1=a1.a=1(Rmerupakan ring pembagian, hal ini juga berlaku untuk setiap unsur di,.0Rartinya:aR−{0}a1Ra.a1=a1.a=1, tetapi masih menjadipernyataan apakah01a?Andaikan01amaka1011aaaa, hal ini jika mungkin haruslah01adengan kata lain1aR−{0}( aksioma grup dipenuhi). Dengan dipenuhiaksioma 1 dan 4 maka terbuktilah bahwa,.0Rmerupakan grup.Bukti yang kedua :AndaikanRring dan,.0Rmerupakan grupAkan ditunjukkanRadalah ring pembagian artinya padaRharus dipenuhi:1.Banyaknya unsur lebih dari satu2.Memiliki unsur kesatuan.8
3.Setiap unsur yang tidak nol memiliki invers.Diketahui,.0Rmerupakan grup. Akibatnya telah dipenuhi bahwa padaRunsur yangRtidak nol memiliki invers( syarat 3 dipenuhi) dan memiliki unsurkesatuan yang tidak sama dengan nol. Karena terdapat unsur kesatuan yang tidaksama dengan nol itu berarti bahwa memiliki unsur yang lebih dari satu.Teorema 3Setiap field F adalah suatu integral domainBukti:DiberikanFba,dan andaikan bahwa0a. Maka jika0abkita punya001)(1aabaTetapi kemudianbbbaaaba11)(10Kita telah menunjukkan bahwa0abdengan0amengakibatkan0bdi F,jadi ada pembagi bukan 0 di F. Tentu saja F ring komutatif dengan unsur kesatuan,sehingga teorema ini terbukti.

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

End of preview. Want to read all 17 pages?

Upload your study docs or become a

Course Hero member to access this document

Term
Fall
Professor
abil mansyur
Tags

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture