O siendo l un operador dife rencial lineal que

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O, siendo L un operador dife- rencial lineal que contiene una o más derivadas parciales. La ecuación (9.2) se llama ecuación de Laplace bi-dimensionaI. Parte de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias puede extenderse a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Por ejemplo, es fácil comprobar que para cada una de las ecuaciones (9.1) y (9.2) el conjunto de soluciones es un espacio lineal. Sin embargo, hay una diferencia importante 345
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346 Aplicaciones de cálculo diferencial entre las ecuaciones diferenciales lineales en derivadas parciales y las lineales ordinarias, que debe ser mencionada desde el principio. Ponemos de manifiesto esa diferencia comparando la ecuación en derivadas parciales (9.1) con la ecua- ción diferencial ordinaria (9.3) f'(x) = O. La función más general que satisface (9.3) es f(x) = e, siendo e una cons- tante arbitraria. Es decir, el espacio-solución de (9.3) es uni-dimensional. Pero la función de tipo más general que satisface (9.1) es f(x, y) = g(y), donde g es una función cualquiera de y. Puesto que g es arbitraria podemos obtener con facilidad un conjunto infinito de soluciones independientes. Por ejem- plo, podemos tomar g(y) = e CY y hacer que e varíe en todo el campo real. Así pues, el espacio solución de (9.1) es de infinitas dimensiones. En ciertos aspectos este ejemplo refleja lo que en general ocurre. Algunas veces en la resolución de una ecuación en derivadas parciales de primer orden, se precisa una integración para hacer desaparecer cada derivada parcial. Entonces se introduce un función arbitraria en la solución. Esto ocurre en un espaelo de soluciones de infinitas dimensiones. En muchos problemas que incluyen ecuaciones en derivadas parciales es preciso seleccionar del conjunto de soluciones una solución particular que satis- faga una o más condiciones auxiliares. Como es lógico la naturaleza de esas condiciones tiene un efecto profundo en la existencia o en la unicidad de las soluciones. En este libro no se llegará a un estudio sistemático de tales proble- mas. En cambio, trataremos algunos casos particulares para ilustrar las ideas introducidas en el capítulo 8. 9.2 Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes Consideremos la ecuación en derivadas parciales de primer orden (9.4) 3 of(x, y) + 2 of(x, y) = O. ox ov Todas las soluciones de esta ecuación pueden encontrarse mediante considera- ciones geométricas. Expresemos el primer miembro como un producto escalar, y pongamos la ecuación en la forma (3i + 2j)· \/f(x,y) = O.
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Ecuación en derivadas parciales de primer orden 347 Esto nos dice que el vector gradiente "V f(x, y) es ortogonal al vector 3 i + 2 j en cada punto (x, y). Pero sabemos también que "V f(x, y) es ortogonal a las curvas de nivel de f.
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