075 074 36 7 12 5 2 12 5 2 5 2 5 2 60 ci i ci i i i 2 24 5 29 c c i 12 5 2 ci i

075 074 36 7 12 5 2 12 5 2 5 2 5 2 60 ci i ci i i i 2

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075 074 36 7 12 5 2 12 5 2 5 2 5 2 60 + − + = + − − − + − − = ci i ci i i i ( )( ) ( )( ) + + − 2 24 5 29 c c i ( ) 12 5 2 + − + ci i 073 71 i ( ) ( ) + − + = + + + + = 9 2 18 5 2 81 36 4 324 36 2 2 2 2 b b b b b b 50 + = + + + = + 9 1 2 9 1 2 1 2 1 2 9 2 bi i bi i i i b ( )( ) ( )( ) ( + 18 5 b i ) 5 2 072 071
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187 4 SOLUCIONARIO Demuestra que, si multiplicas un número complejo por su conjugado, se obtiene el cuadrado de su módulo. Sea z = a + bi . Calculamos su módulo: El cuadrado del módulo es: a 2 + b 2 Multiplicamos por el conjugado: ( a + bi )( a bi ) = a 2 + b 2 Por tanto, es cierto. ¿Qué diferencia existe entre las soluciones de la raíz cuadrada real de 16 y la raíz cuadrada del número complejo 16 + 0 i ? No existe ninguna diferencia, pues ambos números tienen como raíz cuadrada 4 y 4. Calcula las tres raíces cúbicas de 27 y comprueba que su suma es cero. Comprueba si sucede lo mismo con las tres raíces cúbicas de 16 88 i . ¿Sucederá eso con todos los números complejos? Justifica tu respuesta. Si k = 0 z 1 = 3 60° = Si k = 2 z 3 = 3 300° = Si k = 1 z 2 = 3 180° = − 3 Sumamos las raíces: Calculamos las raíces cúbicas de 16 88 i = 280° 18' 17,45'' : Si k = 0 x 1 = 93° 26' 5,82'' = − 1,1983 + 19,965 i Si k = 1 x 2 = 213° 23' 5,82'' = − 16,6902 11,0197 i Si k = 2 x 3 = 333° 26' 5,82'' = 17,8885 8,94427 i Sumamos las raíces: 1,1983 + 19,965 i 16,6902 11,0197 i + 17,8885 8,94427 i = 0 Sucederá lo mismo con todos los números complejos. Dado un número complejo, sus tres raíces cúbicas serán: r α , r α+ 120° y r α + 240° . Si multiplicamos las raíces por el número complejo , da como resultado las raíces cúbicas de 27, cuya suma es cero: Como , la suma de las tres raíces cúbicas de cualquier número complejo distinto de cero es cero. 3 0 60 120 240 r r r r + + = + + + α α α α ° ° ° ( ) 0 0 3 1 2 3 60 120 = + + = + + + + z z z r r r α α α ° ° ( r α + 240° ) 3 60 r + α ° 8 000 6 . 8 000 6 . 8 000 6 . 8 000 6 280 18 17 45 360 3 . ' , '' ° ° + k 8 000 . 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 0 + + = i i 3 2 3 3 2 i 3 2 3 3 2 + i = + 27 3 3 180 360 3 ° ° k 078 077 ⏐ ⏐ z a b = + 2 2 076
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188 Números complejos Uno de los vértices de un triángulo es el origen de coordenadas y los otros dos son los afijos de los números complejos 2 + 5 i y 3 + i . Calcula la longitud de sus lados. Sea O el origen de coordenadas, A = − 2 + 5 i , B = 3 + i . Calculamos la longitud del lado OA : Hallamos la longitud del lado OB : Determinamos la longitud del lado AB : Dos vértices consecutivos de un cuadrado son los afijos de los números 6 + 5 i y 3 + i . Determina el resto de sus vértices, sabiendo que tiene uno en el cuarto cuadrante. La variación de la parte real de los dos números es de 3 unidades y la variación de la parte compleja es de 4 unidades. Por tanto, si a partir de los vértices conocidos llevamos una variación de 4 unidades en la parte real y 3 unidades en la parte imaginaria, resultan los otros dos vértices, obteniéndose dos soluciones: C = (7, 2) y D = (10, 2) C ' = ( 1, 4) y D ' = (2, 8) De estas soluciones únicamente la primera solución tiene un vértice en el cuarto cuadrante.
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