Étudier la convergence de u n exercice 26 on

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Étudier la convergence de ( u n ) . Exercice 26 On considère les suites de nombres réels ( u n ) n N et ( v n ) n N définies par : u 0 = a, a R + , n N , u n +1 = u n + u 2 n et v n = 1 2 n ln( u n ) . 1. Étudier la convergence de ( u n ) . 2. Montrer que quels que soient les entiers naturels n et p : 0 < v n + p +1 v n + p lessorequalslant 1 2 n + p +1 ln parenleftbigg 1+ 1 u n parenrightbigg . 3. Démontrer que la suite ( v n ) n N est convergente. On note α sa limite. 4. Montrer que : u n + exp( α 2 n ) . 5. On pose : β n =exp( α · 2 n ) u n . En exprimant ( β n +1 + β 2 n β n )exp( α · 2 n ) , prouver que u n = 1 2 +exp( α · 2 n )+ o (1) . Exercice 27 Équivalent d’une suite récurrente) Soit ( u n ) n N la suite définie par u 0 = a > 0 et pour tout n N , u n +1 = u n radicalbig 1+ u 2 n . 1. Montrer que ( u n ) n N converge. 2. En calculant 1 n n summationdisplay k =1 parenleftbigg 1 u 2 k 1 u 2 k 1 parenrightbigg de deux manières différentes, déterminer un équivalent simple de ( u n ) n N . Exercice 28 (Équivalent d’une suite récurrente à l’aide du théorème de Cesàro) On pourra utiliser dans cet exercice le développement suivant au voisinage de 0 : sin( x )= x x 3 6 + o ( x 3 ) . 1. On considère une suite réelle ( a n ) n N de limite R . Montrer que parenleftbigg 1 n n k =0 a k parenrightbigg converge vers . 2. On considère la suite ( u n ) n greaterorequalslant 0 définie par : u 0 = π 4 et n greaterorequalslant 1 , u n +1 =sin( u n ) . (a) Montrer que la suite ( u n ) n converge et donner sa limite. (b) Montrer qu’il existe un réel α tel que lim n + ( u α n +1 u α n ) existe et est un réel non nul. (c) Déterminer un équivalent de u n . La méthode est à retenir. Exercice 29 (Équivalent d’une suite définie implicitement) Pour tout n N , on définit le polynôme P n par : x R , P n ( x )= 1+ n summationdisplay k =1 x k . 1. Soit n N . Montrer que l’équation P n ( x )=0 admet une unique solution x n dans R + , et que 0 < x n lessorequalslant 1 . 4
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2. Montrer que ( x n ) n N * converge. On note sa limite. 3. Montrer que = 1 2 . 4. Montrer que x n 1 2 n + parenleftbigg 1 2 parenrightbigg n +2 . Exercice 30 (Équivalent d’une suite définie implicitement) Soit n un entier supérieur ou égal à 3. Soit f n : [0 , + [ R l’application définie pour tout x [0 , + [ par f n ( x ) = x n nx +1 . 1. Prouver l’existence de deux racines α n et β n de f n telles que 0 < α n < 1 < β n . 2. Montrer que ( α n ) n greaterorequalslant 3 converge et calculer sa limite. 3. Montrer que α n + 1 n . 4. En considérant f n parenleftbigg 1+ 2 n parenrightbigg . déterminer la limite de β n . 5. Déterminer un équivalent de ln( β n ) , puis de β n . Exercice 31 (Équivalent d’une suite définie implicitement) Soit k R + .
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  • Fall '19
  • nombre réel, entier naturel, Mathématiques, Continuité, Compacité, A. Troesch

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