Para um gas isotropico n θ p dθdp n p dp 2 π sen

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Para um g´as isotr´opico: n ( θ, p ) dθdp n ( p ) dp = 2 π sen θ dθ 4 π , que ´ e a fra¸c˜ ao do ˆangulo esf´ erico total definido pelo cone. Ou seja, a press˜ao ´ e dada por: P = Z π/ 2 θ =0 Z p =0 2 p cos θ v cos θ n ( p ) dp 1 2 sen θdθ. Como Z π/ 2 θ =0 cos 2 θ sen θ dθ = Z 1 0 x 2 dx = 1 3 , 282
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a press˜ao de um g´as isotr´opico ´ e dada por: P = 1 3 Z 0 p · v · n ( p ) dp (23.8) Essa integral precisa ser calculada para diferentes circunstˆancias, j´a que a rela¸c˜ ao entre o momentum p e a velocidade v depende de considera¸c˜ oes relativ´ ısticas, enquanto a forma da distribui¸c˜ ao n ( p ) depende do tipo de part´ ıculas e da estat´ ıstica quˆantica. 23.2.1 as n˜ ao-degenerado Para um g´as monoatˆomico perfeito e n˜ao-degenerado, nem relativ´ ıstico, a distribui¸c˜ ao de momentum em equil´ ıbrio t´ ermico ´ e dada pela Lei de Maxwell [James Clerk Maxwell (1831-1879)]. n ( p ) dp = N 4 πp 2 dp (2 πmkT ) 3 / 2 exp - p 2 2 mkT (23.9) onde m ´ e a massa da part´ ıcula, k ´ e a constante de Boltzmann, e T a tem- peratura do g´as. Note que a normaliza¸c˜ ao ´ e escolhida de forma que N = Z 0 n ( p ) dp (23.10) para um g´as n˜ao-relativ´ ıstico, com E = mv 2 / 2, j´a que Z 0 p 2 e - ap 2 dp = 1 4 a r π a (23.11) Integrando-se a equa¸c˜ ao (23.8), usando a Lei de Maxwell (23.9), a nor- maliza¸c˜ ao (23.10), e v = p/m , obt´ em-se: P = NkT, a equa¸c˜ ao de um g´as ideal. A densidade de energia E NR , de acordo com a equa¸c˜ ao (23.6), para um g´as ideal ´ e dada por: E NR = N 4 π (2 πmkT ) 3 2 Z 0 p 2 2 m e - p 2 2 mkT p 2 dp (23.12) 283
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Como Z 0 p 4 e - ap 2 dp = 3 8 a 2 r π a (23.13) obtemos E NR g´as = 3 2 NkT (23.14) Para o g´as de Boltzmann, o potencial qu´ ımico, excluindo a energia de repouso, ´ e dado por: μ = kT ln " N g h 2 2 πmkT 3 2 # (23.15) onde g = 2 J + 1 ´ e o fator estat´ ıstico para part´ ıculas de spin J. Para um g´as relativ´ ıstico, pc mc 2 , a energia da part´ ıcula ´ e dada por E pc , e usando a equa¸c˜ ao (23.10) para obter a constante normaliza¸c˜ ao C : N = C Z 0 e - pc kT p 2 dp (23.16) Como Z 0 p 2 e - ap dp = - 2 a 3 (23.17) obtemos N = - C 2( kT ) 3 c 3 -→ C = - Nc 3 2( kT ) 3 (23.18) e, portanto, a energia do g´as ´ e dada por E ER g´as = C Z 0 pc e - pc kT p 2 dp (23.19) Como Z 0 p 3 e - ap dp = - 6 a 4 (23.20) a equa¸c˜ ao (23.19) se reduz a E ER g´as = 3 NkT (23.21) 284
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23.2.2 as de f´otons Para um g´as de f´otons, como cada f´oton tem um momentum associado p = c = h λ , eles tamb´ em exercem uma press˜ao, chamada press˜ao de radia¸c˜ ao P rad : P rad = 1 3 Z 0 c · c · n ( p ) dp = 1 3 Z 0 hν n ( p ) dp = 1 3 Z 0 E n ( p ) dp 1 3 u onde u ´ e a densidade de energia (energia por unidade de volume) da radia¸c˜ ao: P rad = 1 3 u = 1 3 aT 4 onde a ´ e a constante de Stefan-Boltzmann: a = 8 π 5 k 4 15 c 3 h 3 = 4 σ c = 7 , 565 × 10 - 15 erg cm - 3 K - 4 . O valor da densidade de energia u vem do fato que a energia de cada f´oton ´ e dada por E = , e o momentum p = hν/c , de modo que, usando a distribui¸c˜ ao de momentum de Bose-Einstein com μ = 0, e n ( E ) dE = n ( p ) dp , n ( p ) dp = 8 πp 2 dp h 3 1 e E/kT - 1 (23.22) obt´ em-se que a densidade de energia de f´otons com uma freq¨uˆ encia ν no intervalo , em equil´ ıbrio t´ ermico ´ e dada por: u ( ν ) = 8 πhν 3 c 3 e kT - 1 (23.23) e u = Z o u ( ν ) = aT 4 (23.24) Existem casos, como em estrelas quentes, em que a press˜ao de radia¸c˜ ao ´ e compar´avel com a press˜ao do g´as, que sustenta a estrela. De fato, para
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