Aplicamos la relación de ángulos complementarios para calcular el tercer ángulo

Aplicamos la relación de ángulos complementarios

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Aplicamos la relación de ángulos complementarios para calcular el tercer ángulo: $ B = 90° 62° = 28° Utilizamos una de sus razones trigonométricas para hallar otro de sus lados: sen $ B Usamos el teorema de Pitágoras para determinar el tercer lado: Calcula b y c en estos triángulos. a) b) a) $ B = 180° 88° 55° = 37° = = = = b) $ C = 180° 44° 86° = 50° Aplicamos el teorema del seno como en el apartado anterior y resulta: b = 25,85 cm c = 19,85 cm Razona si es posible que en un triángulo se cumplan estas igualdades. a = a = Es posible si el triángulo es rectángulo, porque entonces $ A = 90° y sen $ A = 1. c sen $ C b sen $ B 025 c sen sen c 88 14 55 ° ° 17,08 cm = = c sen $ C b sen $ B a sen $ A b sen sen b 37 14 55 ° ° 10,29 cm = = c sen $ C b sen $ B a sen $ A B A C 18 cm 44° 86° B c A C b 14 cm 88° 55° 024 c = = 1 2 2 0,4695 0,8829 m = = = = b a b b sen 1 28 ° 0,4695 m 023 = = = b a 30 0 7682 39,05 , h = + = = 30 25 1 525 3 2 2 . 9,05 m 022 b c
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117 Un triángulo ABC es rectángulo y la longitud de su hipotenusa es a . a) Aplica el teorema del coseno al ángulo recto $ A . b) ¿En qué teorema se transforma el teorema del coseno en este caso? b) Se transforma en el teorema de Pitágoras. Decide si las siguientes medidas corresponden a las longitudes de lados de un triángulo, e indica si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. a) 12, 11 y 9 cm b) 23, 14 y 8 cm c) 26, 24 y 10 cm d) 40, 30 y 20 m a) a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos $ A 12 2 = 11 2 + 9 2 2 11 9 cos $ A cos $ A = 0,2929 $ A = 72° 57 ' 59,7 " El triángulo es acutángulo. b) Las medidas no forman un triángulo, ya que la suma de los lados menores es menor que el lado mayor. c) a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos $ A 26 2 = 24 2 + 10 2 2 24 10 cos $ A cos $ A = 0 $ A = 90° El triángulo es rectángulo. d) a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos $ A ⎯→ 40 2 = 30 2 + 20 2 2 30 20 cos $ A cos $ A = − 0,25 $ A = 104° 28 ' 39 " El triángulo es obtusángulo. En una construcción, dos vigas de 10 m están soldadas por sus extremos y forman un triángulo con otra viga de 15 m. Halla los ángulos que forman entre sí. Llamamos a = 15 m, b = 10 m y c = 10 m. Utilizamos el teorema del coseno para obtener dos de sus ángulos: a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos $ A 15 2 = 10 2 + 10 2 2 10 10 cos $ A $ A = 97° 10 ' 50,7 " b 2 = a 2 + c 2 2 ac cos $ B 10 2 = 15 2 + 10 2 2 15 10 cos $ B $ B = 41° 24 ' 34,6 " Usamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 180°, para calcular el tercer ángulo: $ A + $ B + $ C = 97° 10 ' 50,7 " + 41° 24 ' 34,6 " + $ C = 180° $ C = 41° 24 ' 34,6 " En un romboide, los lados miden 5 cm y 8 cm y una de sus diagonales mide 10 cm. Calcula la medida de sus cuatro ángulos. Llamamos a = 5 cm, b = 8 cm y c = 10 cm. Utilizamos el teorema del coseno para obtener dos de sus ángulos: a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos $ A 5 2 = 8 2 + 10 2 2 8 10 cos $ A $ A = 29° 41 ' 10,7 " b 2 = a 2 + c 2 2 ac cos $ B 8 2 = 5 2 + 10 2 2 5 10 cos $ B $ B = 52° 24 ' 37,8 " Usamos la propiedad de que la suma de los ángulos de un triángulo mide 180°, para calcular el tercer ángulo: $ A + $ B + $ C = 29° 41 ' 10,7 " + 52° 24 ' 37,8 " + $ C = 180° $ C = 97° 54 ' 11,5 " 029 028 027 a) ° a b c bc cos b c 2 2 2 2 2 2 90 = + = + 026 3 SOLUCIONARIO
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118 Trigonometría
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