Circular em torno do centro de massa comum cuja

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circular em torno do centro de massa comum, cuja distˆancia a cada um ´ e r 1 e r 2 , respectivamente. A atra¸c˜ ao gravitacional ´ e dada por: F G = Gm 1 m 2 ( r 1 + r 2 ) 2 e as for¸cas centr´ ıpetas por: F 1 = m 1 v 2 1 r 1 e F 2 = m 2 v 2 2 r 2 Como: v 1 = 2 πr 1 P = v 2 1 = 4 π 2 r 2 1 P 2 e o mesmo para m 2 , F 1 = F 2 = F G = Gm 1 m 2 ( r 1 + r 2 ) 2 = m 1 v 2 1 r 1 = 4 π 2 m 1 r 1 P 2 e Gm 1 m 2 ( r 1 + r 2 ) 2 = m 2 v 2 2 r 2 = 4 π 2 m 2 r 2 P 2 Eliminando-se m 1 na primeira e m 2 na segunda e somando-se, obtemos: G ( m 1 + m 2 ) ( r 1 + r 2 ) 2 = 4 π 2 ( r 1 + r 2 ) P 2 , 87
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ou: P 2 = 4 π 2 G ( m 1 + m 2 ) ( r 1 + r 2 ) 3 Comparando essa express˜ao com a forma original da 3 a lei de Kepler: P 2 = Ka 3 vemos que K = 4 π 2 G ( m 1 + m 2 ) (11.1) Isso nos diz que a “constante” K, definida como a raz˜ao P 2 a 3 , s´o ´ e constante realmente se ( m 1 + m 2 ) permanece constante. Isso ´ e o que acontece no caso dos planetas do sistema solar: como todos tˆ em massa muito menor do que a massa do Sol, a soma da massa do Sol com a massa do planeta ´ e sempre aproximadamente a mesma, independente do planeta. Por essa raz˜ao Kepler, ao formular sua 3 a lei, n˜ao percebeu a dependˆ encia com a massa. Mas, se considerarmos sistemas onde os corpos principais s˜ao diferentes, ent˜ ao as raz˜oes P 2 a 3 ser˜ao diferentes. Por exemplo, todos os sat´ elites de J´upiter tˆ em praticamente a mesma raz˜ao P 2 a 3 = K J , que portanto podemos considerar constante entre elas, mas essa constante ´ e diferente da raz˜ao P 2 a 3 = K comum aos planetas do sistema solar. Para estabelecermos a igualdade temos que introduzir a massa: ( M + m p ) P 2 a 3 = ( M J + m s ) P 2 a 3 J = constante ou, considerando as massas dos planetas desprez´aveis frente `a massa do Sol, e as massas dos sat´ elites desprez´aveis frente `a massa de J´upiter, e represen- tando a raz˜ao P 2 a 3 pela letra K, temos: M K = M J K J = constante Generalizando para quaisquer sistemas, podemos escrever: M 1 K 1 = M 2 K 2 = .... = M n K n = constante onde K n ´ e a raz˜ao entre o quadrado do per´ ıodo e o cubo do semi-eixo maior da ´orbita para os corpos do sistema de massa M n . Pela equa¸c˜ ao 11.1 sabemos que o valor dessa constante ´ e 4 π 2 G , e temos ent˜ ao: 88
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M 1 K 1 = M 2 K 2 = .... = M n K n = 4 π 2 G Existem casos de sistemas gravitacionais em que n˜ao podemos desprezar a massa de nenhum corpo frente `a do outro, como, por exemplo, muitos sistemas bin´arios de estrelas. Nesses casos, ´ e mais correto escrever: ( M + m ) 1 K 1 = ( M + m ) 2 K 2 = .... = ( M + m ) n K n = 4 π 2 G (11.2) 11.3 Determina¸c˜ ao de massas A terceira lei de Kepler na forma derivada por Newton pode se escrita como: ( M + m ) = 4 π 2 G a 3 P 2 (11.3) que nada mais ´ e do que a ´ultima parte da equa¸c˜ ao 11.2, onde foi substitu´ ıdo K por P 2 a 3 . No sistema internacional de unidades, G = 6 , 673 × 10 - 11 N m 2 / kg 2 , ou G = 6 , 67 × 10 - 11 m 3 / (kg s 2 ) e foi medida em laborat´orio pelo f´ ısico inglˆ es Henry Cavendish (1731-1810) em 1798. Mas, em astronomia, muitas vezes ´ e mais conveniente adotar outras uni- dades que n˜ao as do sistema internacional. Por exemplo, em se tratando de sistemas nos quais o corpo maior ´ e uma estrela, costuma-se determinar suas massas em unidades de massa do Sol, ou massas solares (massa do Sol = M ), seus per´
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