注 意 ?意函数 都 可分解为 奇 函数和 ?

注 意：
任意函数 都 可分解为 奇 函数和 偶 函数两 部 分，即
式中 表示 奇 函数 部 分 ， 表示 偶 函数 部 分
。
有
     
t f t f t f
ev od
 
 
t f
od
 
t f
ev
 
   
 
   
2
2
t f t f
t f
t f t f
t f
ev
od
 

 


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《信号与系统》
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（ 3 ） 为 奇谐 函数 （ 半 波 像 对称信号 ）
如果函数 的 前半 周期波形移 动 T /2 后 ，与 后
半 周期波形 对称于 横轴 ，即满足
则这种函数称为 半 波对称函数，
或称为 奇谐 函数 。
在这种 情况 下，其傅里
级数 展开 式中将 只含有
奇次谐 波分量而不含 偶
次谐 波分量 ，即有：
 
t f
 
t f
 






  
2
T
t f t f
0
6 4 2 4 2 0
          b b b a a a

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（ 4 ） 半 波 重 叠信号
:
波形平移 半 个周期后 所得出的波形 与 原 波形 重 合 的
信号
其傅里叶级数 展开 式中将 只含有 偶次谐 波分量而不
含 奇次谐 波分量 ， 故它被 称之为 偶谐 函数 。即
0
5 3 1 5 3 1
          b b b a a a

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例 3-1 将下 图 所示的方波信号 展开 为傅里叶级数
。
解 : 函数可以表 达 为：





 
   

2
0
2
0
2 2
T
t
E
t
T E
t f
,
,
) (
按 照 傅里叶级数定义，可得
：
0
2
2
2
2
2
0 0
0
2 0
0
0
2
2
0
0 0
   
  


 
] ) (sin ) sin [(
cos ) ( cos ) (
/
/
T
T
T
T
n
t ω n t ω n
T ω n
E
tdt ω n
E
T
tdt ω n
E
T
a
0 
n
a
即

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即






为偶数 0
为奇数
2
n
n
π n
E
b
n
,
,
故 得信号的傅里叶级数 展开 式为
) cos (
] ) cos ( ) [(cos
sin ) ( sin ) (
/
/
π n
n π
E
t ω n t ω n
T ω n
E
tdt ω n
E
T
tdt ω n
E
T
b
T
T
T
T
n
2 2
2
2
2
2
2
2
0 0
0
2 0
0
0
2
2
0
0 0
 
  
  


 
) sin sin sin (sin ) (         t ω n
n
t ω t ω t ω
π
E
t f
0 0 0 0
1
5
5
1
3
3
1 2

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例 3-2 将下 图 的周期 信号 展开 为三角函数形式的
傅里叶级数。
 , , , n , a 2 1 0 = 0 =
0
解 : 因 f ( t ) 为 奇 函数，所
以
f ( t ) 在 0<t≤ T /2 区间，可表 达 为
2 0 1
2
/ , ) ( T t t
T
t f     
由 定义得


  

2
0
0
2
0
0
1
2 4
4
T
T
n
tdt ω n t
T T
tdt ω n t f
T
b
sin ] [
sin ) (

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