F x f 1 x u θ x 1 f 1 x u θ x nx f i x u θ x j f

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F x ( . ) = f 1 ( x 0 , u 0 , θ ) x 1 . . . f 1 ( x 0 , u 0 , θ ) x nx . . . f i ( x 0 , u 0 , θ ) x j . . . f nx ( x 0 , u 0 , θ ) x 1 . . . f nx ( x 0 , u 0 , θ ) x nx , G x ( . ) = g 1 ( x 0 , u 0 , θ ) x 1 . . . g 1 ( x 0 , u 0 , θ ) x nx . . . g i ( x 0 , u 0 , θ ) x j . . . g ny ( x 0 , u 0 , θ ) x 1 . . . g ny ( x 0 , u 0 , θ ) x nx F u ( . ) = f 1 ( x 0 , u 0 , θ ) u 1 . . . f 1 ( x 0 , u 0 , θ ) u nu . . . f i ( x 0 , u 0 , θ ) u j . . . f nx ( x 0 , u 0 , θ ) u 1 . . . f nx ( x 0 , u 0 , θ ) u nu , G u ( . ) = g 1 ( x 0 , u 0 , θ ) u 1 . . . g 1 ( x 0 , u 0 , θ ) u nu . . . g i ( x 0 , u 0 , θ ) u j . . . g ny ( x 0 , u 0 , θ ) u 1 . . . g ny ( x 0 , u 0 , θ ) u nu En posant le changement de variable suivant : x = x x 0 , u = u u 0 , d dt x ( t ) = d dt x ( t ) f ( x 0 , u 0 , θ ) = d dt x ( t ) et y ( t ) = y ( t ) y 0 = y ( t ) g ( x 0 , u 0 , θ ) , on obtient le modèle en variation autour du point de repos. De plus, en faisant l’approximation du premier ordre, le modèle en variation est linéaire et s’écrit d dt x ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) y ( t ) = C x ( t ) + D u ( t ) x ( t 0 ) = 0 (3.2.2) A = F x ( x 0 , u 0 , θ ) , B = F u ( x 0 , u 0 , θ ) , C = G x ( x 0 , u 0 , θ ) et D = G u ( x 0 , u 0 , θ ) . La matrice A est une matrice carrée avec le nombre de variables d’état n x comme nombre de lignes et de colonnes : n x × n x . D’autre part, B possède n x lignes et autant de colonnes que le nombre d’entrées n u : n x × n u . Ensuite, la matrice C a n x colonnes et autant de lignes que de sorties n y : n y × n x . Enfin, la matrice D décrit le lien entre les entrées et les sorties et contient n y lignes et n u colonnes : n y × n u . La condition initiale x ( t 0 ) du modèle ( 3.2.2 ) est un vecteur de zéros car, à l’instant initial, le système est à l’équilibre : x ( t 0 ) = x ( t 0 ) x 0 = 0. A cause de l’approximation du premier ordre, ce modèle linéaire n’est valide que dans une zone limitée autour du point d’équilibre considéré. 3.3 Propriétés des modèles linéaires Une fois le modèle linéaire obtenu, ses propriétés sont étudiées afin de connaître la ma- nière avec laquelle le système initial réagit localement à des changements des grandeurs
19 d’entrées. Pour cela, on caractérise la réponse du modèle linéaire à une entrée constante, un échelon unitaire. Les propriétés étudiées dans cette section s’appliquent en particulier aux systèmes à une entrée ( n u = 1 ) et une sortie ( n y = 1 ) et sont la stabilité, le gain statique, le saut initial, le temps de réponse, la période d’oscillations et les grandeurs intermédiaires. 3.3.1 Stabilité L’étude de stabilité permet de déterminer si une réponse à une sollicitation constante atteint un nouvel état d’équilibre. Elle se définit en vérifiant si la variable de sortie atteint une limite finie : lim t y ( t ) < .

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