다항식 위의 특별한 n 차 다항식 해를

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다항식 – 위의 특별한 n 차 다항식 해를 Legendre 다항식이라 하고 P n (x) 라고 한다 . 되돌림 관계 ( k + 1 ) P k + 1 ( x ) ( 2 k + 1 ) x P k ( x ) + k P k 1 ( x ) = 0 직교함수 구간 [a,b] 에서 ( f 1 ,f 2 ) = a b f 1 f 2 dx = 0 이면 두 함수가 직교한다고 한다 . (f1,f2) 는 내적 직교집합 실수 값을 갖는 함수들의 집합 { 0 ( x ) , 1 ( x ) , 2 ( x ) , } 가 구간 [a,b] 에서 ( n ( x ) , m ( x ) ) = 0, m≠n 라면 직교한다고 한다 . 정규직교집합 직교집합의 모든 원소의 norm ¿ 0 ( x ) ¿ 2 = a b n 2 ( x ) dx = 1 일때의집합 직교급수의 전개 ( 일반화된 Fourier 급수 )
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f ( x ) = n = 0 c n n ( x ) ,c n = a b f ( x ) n ( x ) dx ¿ 0 ( x ) ¿ 2 직교집합 / 가중함수 실수 값을 갖는 함수 집합 { 0 ( x ) , 1 ( x ) , 2 ( x ) , } 이 구간 [a,b] 에서 a b w ( x ) f 1 ( x ) , f 2 ( x ) dx = 0, m≠n 을 만족하면 이 집합이 가중함수 w ( x ) 에 대해 직교한다고 정의한다 . 완전집합 – 직교집합의 각 원소에 대해서 직교하는 연속 인 함수는 영함수 뿐이다 . Fourier 급수 구간 (-p,p) 에서 정의된 함수 f Fourier 급수는 다음과 같다 . a n cos p x ( ¿ + b n sin p x ) f ( x ) = a 0 2 + n = 1 ¿ a 0 = 1 p p p f ( x ) dx a n = 1 p p p f ( x ) cos p xdx b n = 1 p p p f ( x ) sin p x dx ※※※※ 적분 시 분모가 0 이 되는 n 은 따로 구하자 . Fourier 급수의 수렴 f f’ 이 조각별로 연속이고 유한 불연속성을 가질 때 f Fourier 급수는 수 렴하고 불연속점에서는 + ¿ x ¿ ¿ ¿ x ¿ ¿ f ¿ ¿ 의 값으로 수렴한다 . Fourier 코사인 급수와 사인 급수 1) 구간 (-p,p) 에서 우함수의 Fourier 급수는 코사인 급수이다 . f ( x ) = a 0 2 + n = 1 a n cos p x a 0 = 2 p 0 p f ( x ) dx a n = 2 p 0 p f ( x ) cos p x dx 2) 구간 (-p,p) 에서 기함수의 Fourier 급수는 사인 급수이다 . f ( x ) = n = 1 b n sin p x b n = 2 p 0 p f ( x ) sin p x dx 반 구간 전개 f(x) 가 구간 (0,L) 에서 정의 된다면 2p=L 로 간주하고 푼다 .
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복소 Fourier 급수 f ( x ) = n =− c n e inπ p x c n = 1 2 p p p f ( x ) e inπ p x dx ,n = 1, ± 1, ± 2, ※※※※※※ e inπ ¿ e inπ =(− 1 ) n ,e 2 inπ = 1, e inπ / 2 =(− i ) n Fourier 적분 구간 (- ∞ ,∞ ¿ 에서정의된함수 f Fourier 적분은 f ( x ) = 1 π 0 [ A ( α ) cosαx + B ( α ) sinαx ] A ( α ) = f ( x ) cosαxdx B ( α ) = f ( x ) sinαxdx Fourier 코사인 적분과 사인 적분 1) 우함수의 Fourier 적분은 코사인 적분 f ( x ) = 2 π 0 A ( α ) cosαx dα A ( α ) = 0 f ( x ) cosαxdx 2) 기함수의 Fourier 적분은 사인적분 f ( x ) = 2 π 0 B ( α ) sinαx dα B ( α ) = 0 f ( x )
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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern