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este seja o caso inicial mas, de algum modo, a estrela ´ e for¸cada a sair deste estado de equil´ ıbrio hidrost´atico inicial, mas mantendo a simetria esf´ erica. Ainda, para tornar o sistema trat´avel, supomos que as perturba¸c˜ oes do es- tado est´atico s˜ao pequenas da seguinte maneira: as vari´ aveis com subscrito zero no raio ( r 0 ) ou densidade ( ρ 0 ) denotam os valores locais das quantidades est´ aticas em um certo ponto de massa M r . Quando se inicia o movimento, o raio e a densidade, em geral, se afastam dos valores est´aticos neste mesmo ponto, e ser˜ao fun¸c˜ oes do tempo e da posi¸c˜ ao. Essa descri¸c˜ ao ´ e uma descri¸c˜ ao Lagrangiana do movimento, porque segue um elemento de massa particular onde, podemos imaginar, todas as part´ ıculas s˜ao pintadas de vermelho, para disting¨u´ ı-las de outro elemento de massa. Podemos descrever o movimento r ( t, M r ) = r 0 ( M r ) [1 + δr ( t, M r ) /r 0 ( M r )] , (23.491) ρ ( t, M r ) = ρ 0 ( M r ) [1 + δρ ( t, M r ) 0 ( M r )] (23.492) onde δr e δρ ao as perturba¸c˜ oes Lagrangianas de densidade e de raio. Essas duas quantidades s˜ao usadas para descrever o movimento com o tempo de um determinado elemento de massa. A restri¸c˜ ao de que as perturba¸c˜ oes sejam pequenas imp˜oe | δr/r 0 | 1 e | δρ/ρ 0 | 1. Podemos agora linearizar as equa¸c˜ oes de for¸ca e de massa substituindo a posi¸c˜ ao (raio) e densidade deste elemento de massa pelos valores perturbados (3) e (4) e, no resultado, mantendo somente os termos de primeira ordem em δr/r 0 e δρ/ρ 0 . Consideremos a equa¸c˜ ao de massa ∂M r [ r 0 (1 + δr/r 0 )] = 4 π [ r 0 (1 + δr/r 0 )] 2 [ ρ 0 (1 + δρ/ρ 0 )] (23.493) Agora carregamos a derivada no denominador do lado esquerdo e expandi- mos os produtos no lado direito. A primeira opera¸c˜ ao resulta em um novo denominador (1 + δr/r 0 ) ∂r 0 + r 0 ( δr/r 0 ). A derivada ∂r 0 ´ e ent˜ ao fatorada para fora de modo que o lado esquerdo cont´ em o fator ∂M r /∂r 0 . Os termos restantes do denominador s˜ao ent˜ ao expandidos em binˆomios, resultando em primeira ordem: ∂M r ∂r 0 1 - δr r 0 - r 0 ( δr/r 0 ) ∂r 0 O lado direito da equa¸c˜ ao de massa pode ser expandido em primeira ordem 4 πr 2 0 ρ 0 1 + 2 δr r 0 + δρ ρ 0 . 530
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Quando os dois lados da equa¸c˜ ao de massa linearizada s˜ao igualados, encon- tramos que o resultado cont´ em a equa¸c˜ ao de ordem zero ∂M r ∂r 0 = 4 πr 2 0 ρ 0 que ´ e simplesmente a equa¸c˜ ao de continuidade de massa da configura¸c˜ ao n˜ao perturbada. Como esta equa¸c˜ ao ´ e automaticamente satisfeita, utilizamos a igualdade para subtrair estes termos da equa¸c˜ ao linearizada. Este ´ e um resultado t´ ıpico de uma lineariza¸c˜ ao em torno de um estado de equil´ ıbrio. Podemos ent˜ ao rearranjar os termos, encontrando uma rela¸c˜ ao entre as per- turba¸c˜ oes Lagrangianas que precisa ser satisfeita para que a conserva¸c˜ ao de massa seja mantida na configura¸c˜ ao dependente do tempo: δρ ρ 0 = - 3 δr r 0 - r 0 ( δr/r 0 ) ∂r 0 . (23.494) Note que parte desta equa¸c˜ ao ´ e familiar porque, se ignorarmos o termo de- rivativo, trata-se da equa¸c˜ ao hom´ologa entre o raio e a densidade. Rela¸c˜ oes hom´ologas s˜ao definidas como r A = R A R B r B e M A ( r A ) = M A M B M B ( r B ) A equa¸c˜ ao de for¸ca ´ e linearizada similarmente ρ 0 r 0 d 2 δr/r 0 dt 2 = ρ 0 r 0 ¨ δr r 0 = - 4 δr r 0 + δP P 0
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