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Soit dans dans un rep ere local a un point h nous

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– soit dans dans un rep` ere local `a un point H. Nous noterons les vecteurs de ce rep` ere local ~x, ~ y, ~ z . Le vecteur ~x sera toujours choisi parrall` ele `a la fibre moyenne. Les vecteurs ~ y et ~ z orthogonaux `a ~x , seront dans les directions principales de la section droite (voir paragraphe 2.3.5). Erreur classique : Il ne faut pas oublier de pr´ eciser, pour tout torseur, dans quel rep` ere il est exprim´ e. principes et lois Nous d´ evelopperons une th´ eorie lin´ eaire, donc nous v´ erifirons le principe de superposition : si un chargement 1 implique une champs de torseurs de d´ eplacement 1, un chargement 2 implique une 10 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.2 – Les concepts `a la description du mouvement de la fibre moyenne. champs de torseurs de d´ eplacement 2, alors appliquer la somme des deux chargements implique un champs de d´ eplacement somme des deux champs pr´ ec´ edents. Le principe de St Venant, exprime que la solution que la th´ eorie des poutres fournie est admis- sible loin des points de chargement, de liaison, des discontinuit´ e de fibre moyenne et de sa d´ eriv´ ee et des variations brusques de section. Le mouvement d’un point M de la poutre sera associ´ e au mouvement du point H de la section droite `a laquelle il appartient. Il est donc n´ ecessaire de d´ efinir le type de lien cin´ ematique entre le point M et le point H . Diff´ erentes hypoth` eses de cin´ ematique de section droite sont possibles : – de Bernoulli : une section plane reste plane et normale `a la fibre moyenne (cin´ ematique num´ ero 2) – de Timoshenko : une section plane reste plane – de Bernoulli g´ en´ eralis´ ee : une section plane peut se voiler (cin´ ematique num´ ero 3) En fonction de la cin´ ematique choisie, la rigidit´ e ´ equivalent de la section droite sera variable. cin´ ematique d’un point de la fibre moyenne Ce paragraphe concerne les ´ etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.2. – torseur des d´ eplacements du barycentre d’une section { U } = ˘ ω ~u H (2.7) avec ˘ ω l’angle dont `a tourn´ e la section droite, ~u le d´ eplacement du point H . Les unit´ es S.I. de ω est le radiant donc 1, celles de u est le m. – torseur des d´ eformations entre deux sections Pour caract´ eriser la d´ eformation entre deux points H ( s ) et H ( s + ds ), le torseur des d´ eformations est d´ efini par : { Def } A = lim ds 0 1 ds { U } H ( s + ds ) - { U } H ( s ) (2.8) Tout calculs faits (voir figure 2.3), on obtient, { Def } A = d ˘ ω ds d~u ds - ˘ ω ~x H (2.9) Pour cette d´ emonstration, vous noterez qu’est effectu´ e un d´ eveloppement de Taylor des vari- able et que seuls les termes d’ordre 2 sont conserv´ es. Si entre deux points H et H 0 , le mouve- ment est celui d’un solide rigide, les deux torseurs sont reli´ es par la formule de changement de point, alors le torseur des d´ eformations est nul.
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