915 ejercicios 1 hallar los valores extremos de z xy

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9.15 Ejercicios 1. Hallar los valores extremos de z = xy con la condición x + y = 1. 2. Hallar las distancias máxima y mínima desde el origen a la curva 5x' + 6xy + 5y' = 8. 3. Supongamosque a y b son números positivos fijos. a) Hallar los valores extremos de z = x/a + y/b con la condición x' + y' = 1. b) Hallar los valores extremos de z= x' + y' con la condición x/a + y/b = 1. En cada caso, interpretar geométricamenteel problema. 4. Hallar los valores extremos de z = cos' x + cos' y con la condición x - y = ,",/4. 5. Hallar los valores extremos del campo escalar f(x, y, z) = x - 2y + 2z en la esfera x'+y'+z'=1.
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388 Aplicaciones de cálculo diferencial 6. Hallar los puntos de la superficie z' - xy = 1 más próximos al origen. 7. Hallar la mínima distancia desde el punto (1,O) a la parábola '/ = 4x. 8. Hallar los puntos de la curva de intersección de las dos superficies x2 - xy + .t - Z2 = 1 y que están más próximos al origen. 9. Si a, b y e son números positivos, hallar el valor máximo de f(x, y, z) = x·y·zc con la condición x + y + z = 1. 10. Hallar el volumen mínimo limitado por .los planos x = O, Y = O, z = O, Y un plano que sea tangente al elipsoide en un punto del octante x > O, y > O,z > O. 11. Hallar el máximo de log x + log y + 310g z en la porción de la esfera x' + '/ + z' = 5r' en la que x > O, y > O, z > O. Aplicar el resultado para demostrar que para números reales positivos a, b, e tenemos ( a + b + e)5 abeS ~ 27 5 . 12. Dada la sección cónica Ax' + 2Bxy + C,/ = 1, siendo A > O y B' < AC. Represente- mos con m y M las distancias mínima y máxima desde el origen a los puntos de la cónica. Demostrar que M2 = A + C + .J (A - C)2 + 4B2 2(AC - B2) y hallar una fórmula análoga para m'. 13. Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las distancias máxi- ma y mínima de un punto de la elipse x' + 4,/ = 4 a la recta x + y = 4. 14. La sección de un canal es un trapecio isósceles. Si los lados iguales de ese trapecio miden e metros, ¿cuál debe ser el ángulo que forman éstos con el fondo (base menor del trapecio) si queremos que el área de la sección sea máxima? 9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos El teorema del valor extremo para funciones reales continuas en un intervalo acotado y cerrado puede extenderse a campos escalares. Consideremos campos escalares continuos en un intervalo n-dimensional cerrado. Tal intervalo se de. fine como el producto cartesiano de n intervalos uni-dimensionales cerrados. Si a = (al' ... , a..) y b = (b 1 , ••• , b n ) escribimos [a, b] = [al' b l] X ••• X [a", b,,] = {(Xl"'" X,,) I Xl E [al' b l ], .•. , X" E [a", b,,]}.
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Teorema del valor extremo para campos escalares continuos 389 Por ejemplo, cuando n = 2 el producto cartesiano [a, b] es un rectángulo. La demostración del teorema del valor extremo es paralela a la demostra- ción dada en el volumen 1 para el caso unidimensíona1. Demostramos primero que la continuidad de f implica la acotación, luego probamos que f alcanza efectiva- mente sus valores máximo y mínimo en [a, b].
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