Y sea e 2 a o o entonces la ecuación 934 toma la

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y sea E 2 (a, O) = O. Entonces la ecuación (9.34) toma la forma fea + y) - fea) = "Vf(a) . y + .l yH(a)yt + IIYl12 E 2 (a, y). 2! Para completar la demostración necesitamos probar que E 2 (a, y) - O cuando y-O. De (9.37), obtenemos 2 11 n n I lIyll IE 2 (a,y)1 = 2 ¿¿ {Di;f(a + cy) - Di;f(a)}YiYi i=l i=l 1 n n :::;; 2¿¿ I Did(a + cy) - D i d(a)lllyI12. i=l i=1 Dividiendo por IIY 11 2 obtenemos la desigualdad 1 n n IE 2 (a,y)1 :::;; 2 ¿¿ I Di;f(a + cy) - Did(a) I i=l i=l para y ':¡é O. Puesto que cada derivada parcial segunda D¡¡f es continua en a, tenemos D¡if(a + cy) - Di¡f(a) cuando y - O, así que E 2 (a, y) - O cuando y - O. Esto completa la demostración.
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178 Aplicaciones de cálculo diferencial 9.11 Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana En un punto estacionario tenemos Vf(a) = O ,así que la fórmula de Taylor de la ecuación (9.35) toma la forma fea + y) - fea) = iyH(a)yt + IIyl12 E 2 (a,y). Puesto que el término de corrección Ily 11 2 E 2 (a, y) tiende hacia cero más rápida- mente que Ily112, parece razonable pensar que para y pequeño el signo algebraico de fea + y) - f(a) es el mismo que el de la forma cuadráticayH(a)yt;por lo que la naturaleza del punto estacionario podrá determinarse mediante el signo alge- braico de la forma cuadrática. Esta sección se dedica a demostrar este hecho. Damos primero una conexión entre el signo algebraico de una forma cuadrá- tica y sus autovalores. TEOREMA 9.5. Sea A = [a;j] una matriz n X n simétrica, y pongamos n n Q(y) = yAyt = ! !a'iY'Y;' '=1;=1 Tenemos entonces: a) Q(y) > O para todo y ~ O si y sólo si todos los autovalores de A son positivos. b) Q(y) < O para todo y ~ O si y sólo si todos los autovalores de A son negativos. Observación. En el caso a). la forma cuadrática se llama definida positiva; en el caso b) se llama definida negativa. Demostración. En virtud del teorema 5.11 existe una matriz ortogonal e que reduce la forma cuadrática yAyt a forma diagonal. Esto es (9.38) n Q(y) = yAyt = ! ;"x~ ,=1 donde x = (Xl' •.. , x n) es la matriz fila x = yC, y Al, .•. , A n son los autovalores de A. Los autovalores son reales puesto que A es simétrica. Si todos los autovalores son positivos, la ecuación (9.38) pone de manifiesto que Q(y) > 01 siempre que x ~ O. Pero como x = yC, tenemos y = xC-\ por 10 que x ~ O, si y sólo si y ~ O. En consecuencia IQ(y) > O para todo y ~ O.
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Determinación de la naturaleza de un punto estacionario 379 Recíprocamente, siQ(y) >0 para todo y ~ O podemos elegir y de modo que x = yC es el k-ésimo vector coordenado ele' Para este y, la ecuación (9.38) nos da Q(y) = A k , de modo que cada Ak > O. Esto demuestra la parte a). La de- mostración de b) es análoga. El teorema que sigue relaciona la naturaleza de un punto estacionario con el signo algebraico de la forma cuadrática yH(a)yt. TEOREMA 9.6. Sea f un campo escalar con derivadas parciales segundas continuas Dijf en una n-bola B(a), y designemos con H(a) la matriz hessiana en un punto estacionario a. Tenemos entonces: a) Si todos los autovalores de H(a) son positivos, f tiene un mínimo re- lativo en a.
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