6 las tres ecuaciones x 2 ycos uv z2 o x2 y2 sen uv

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6. Las tres ecuaciones x 2 - ycos (uv) + Z2 = O, x2 + y2 _ sen (uv) + 2z 2 = 2, xy - sen u cos v + z = O, definen x, y, z como funciones de u y v. Calcular las derivadas parciales ax! au y ax! av en el punto x = y = 1, u = 7TJ2, v = O, z = O. 7. La ecuación f(y/x, z/x) = O define z implícitamente como función de x e y, sea esa función z = g(x, y). Demostrar que ag ag x ax + y ay =g(x,y) en los puntos en los que D,f[y/x,g(x,y)/x] es distinta de cero. 8. Sea F una función real de dos variables reales y supongamos que las derivadas parciales D1F y D 1 F son siempre distintas de cero. Sea u otra función real de dos variables reales tales que las derivadas parciales auJax y au/ ay están ligadas por la ecuación F( ñu] ñx, auf ay) = O. Demostrar que existe una constante n tal que a 2 u a2u (a 2 u)n ax 2 a y 2 = ax ay y encontrar n. Suponer que a 2 uf( ax ay) = a 2 u/( ay ax). 9. La ecuación x + z + (y + Z)l = 6 define z como función implícita de x e y, sea z = f(x, y). Calcular las derivadas parciales off ax, off ay, y 0'1/( ax ay) en función de x,y, y z. 10. La ecuación sen (x + y) + sen (y + z) = 1 define z como función implícita de x e y, sea z = f(x,y). Calcular la derivada segunda Dss] en función de x,y,.y z. 11. La ecuación F(x + y + Z, Xl + f + Zl) = O define z como función implícita de x e y, sea z = f(x, y). Determinar las derivadas parciales af/ax y off oyen función de las par- ciales D1F y D.F. 12. Sean f y g dos funciones de una variable real y definamos F(x, y) = f[x + g(y)]. Hallar las fórmulas correspondientes a todas las derivadas parciales de F de primero y segundo orden, expresadas en función de las derivadas de f y g. Comprobar la relación aF a 2 F aF a 2 F ax ax ay = ay ax 2 ' 9.9 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura Una superficie definida explícitamente por una ecuación de la forma
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370 Aplicaciones de cálculo diferencial Z = f(x, y) puede considerarse como una superficie de nivel del campo escalar F definido por la ecuación F(x,y, z) =f(x,y) - z. Si f es diferenciable, el gradiente de ese campo viene dado por el vector La ecuación lineal que representa el plano tangente en un punto PI = (Xl' Y1> Zl) puede escribirse en la forma en la que z - Zl = A(x - Xl) + B(y - Yl), y Cuando los dos coeficientes A y B son nulos, el punto PI se llama punto esta- cionario de la superficie y el punto (Xl' Yl) se llama punto estacionario o crítico de la función f. El plano tangente en un punto estacionario es horizontal. Gene- ralmente los puntos estacionarios de una superficie se clasifican en tres catego- rías: máximos, mínimos y puntos de ensilladura. Si la superficie se imagina como un terreno montañoso, esas categorías corresponden, respectivamente, a las cum- bres, a los fondos de los valles y a los puertos. Los conceptos de máximos, mínimos y puntos de ensilladura, se pueden in- troducir para campos escalares cualesquiera definidos en subconjuntos de R", DEFINICIÓN.
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