2 a b k c k k σ m m m m m k th th c hi n các phép

This preview shows page 103 - 107 out of 115 pages.

2 a b k + c k + k . Σ m M m M + m k
Image of page 103

Subscribe to view the full document.

th th c hi n các phép toán trên các đ i t ng đó. Ví d ta có th không bi t ượ ế giá tr các nghi m c a m t ph ng trình, nh ng v n bi t đ c t ng c a chúng, ươ ư ế ượ tìm đ c gi i h n c a dãy các nghi m... ượ Bài toán 1. Ký hi u x n là nghi m c a ph ng trình: ươ 1 1 1 x + x 1 + ... + x n = 0 thu c kho ng (0, 1) a) Ch ng minh dãy { x n } h i t . b) Hãy tìm gi i h n đó. Nh n xét: x n đ c xác đ nh duy nh t vì hàm s ượ f n ( x ) = 1 + 1 1 + ... + = 0 x x 1 x n liên t c và đ n đi u trên (0, 1). ơ Tuy nhiên, ta không th xác đ nh đ c giá tr c ượ th c a x n . R t may m n, đ ch ng minh tính h i t c a x n , ta không c n đ n ế đi u đó. Ch c n ch ng minh tính đ n đi u ơ và b ch n là đ . V i tính b ch n, m i th đ u n vì 0 < x n < 1. V i tính đ n ơ đi u, ta chú ý m t chút đ n ế m i liên h gi a f n ( x ) f n + 1 ( x ) : f n + 1 ( x ) = f n 1 ( x ) + x n 1 . Đây chính là chìa khoá đ ch ng minh tính đ n ơ đi u c a x n . L i gi i Rõ ràng x n đ c xác đ nh m t cách duy nh t, 0 ượ < x n < 1. Ta có: f n + 1 ( x ) = f n 1 ( x ) + x n 1 1 = x n 1 < 0, trong khi đó f n + 1 ( 0 + ) > 0. Theo tính ch t c a hàm liên t c, trên kho ng ( 0 , x n ) có ít nh t 1 nghi m c a f n + 1 ( x ) . Nghi m đó chính là x n + 1 . Nh th ta đã ch ng minh đ c ư ế ượ x n + 1 < x n . T c là dãy s { x n } gi m. Do dãy này b ch n d i b i 0 nên dãy s có gi i h n. ướ Ta s ch ng minh gi i h n nói trên b ng 0. Đ ch ng minh đi u này, ta c n đ n ế k t qu quen thu c sau: ế 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + . . . + 1 / n > ln ( n ) (Có th ch ng minh d dàng b ng cách s d ng đánh giá ln ( 1 + 1 / n ) < 1 / n ) ) Th t v y, gi s ả ử limx n = a > 0. Khi đó, do dãy s gi m nên ta có x n a v i m i n.
Image of page 104
Do 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + . . . + 1 / n khi n nên t n t i N sao cho v i m i n N ta có: 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + . . . + 1 / n > 1 / a . Khi đó v i n N ta có: 0 = 1 1 1 + +... + 1 1 1 < + + 1 +... + 1 1 < = 0.Mâu thu n. x n x n 1 x n n x n 1 2 n a a V y ta ph i có limx n = 0. Bài toán 2. (VMO 2002)[4] Cho n là m t s nguyên d ng. Ch ng minh r ng ươ ph ng trình: ươ 1 x 1 1 + 4 x 1 1 1 + ... + n 2 x 1 = 2 có m t nghi m duy nh t x n > 1. Ch ng minh r ng khi n d n đ n vô cùng, ế x n d n
Image of page 105

Subscribe to view the full document.

đ n 4. ế Nh n xét: Vi c ch ng minh ph ng ươ trình có nghi m duy nh t x n > 1 là hi n nhiên. M i liên h f n + 1 ( x ) = f n ( x ) + 1 /(( n + 1 ) 2 x 1 ) cho th y { x n } là dãy s tăng.
Image of page 106
Image of page 107
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes