Encia total n ao relativ ıstica se a energia

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encia total n˜ ao-relativ´ ıstica Se a energia associada ao momentum p 0 for muito menor do que a energia de repouso do el´ etron, m e c 2 = 0 , 51 MeV, ent˜ ao v e = p/m e para todos os momenta na distribui¸c˜ ao, e a integral da press˜ao (23.8) ´ e diretamente: P e , nr = 8 π 15 m e h 3 p 5 0 (23.29) onde nr significa el´ etrons n˜ao-relativ´ ısticos. Usando a rela¸c˜ ao entre o mo- mentum total e a densidade de el´ etrons (23.28), demonstramos que a press˜ao de el´ etrons ´ e determinada pela densidade de el´ etrons: P e , nr = h 2 20 m e 3 π 2 3 n 5 3 e (23.30) Podemos expressar a densidade de el´ etrons em termos da densidade de massa [veja equa¸c˜ ao (23.181)] P e , nr = h 2 20 m e 3 π 2 3 N 5 3 A ρ μ e 5 3 P e , nr = 1 , 004 × 10 13 ρ μ e 5 3 dinas / cm 2 (23.31) onde μ e aqui ´ e o peso molecular m´ edio por el´ etron, ou seja, o n´umero m´ edio de massas atˆomicas (A) por el´ etron: 1 μ e = X X Z Z A Z e a densidade de el´ etrons ´ e dada por: n e = ρN A μ e (23.32) onde N A ´ e o n´umero de Avogadro [Amedeo Avogadro (1776-1856)]. Nor- malmente μ e 2, a n˜ao ser que o g´as contenha uma fra¸c˜ ao substancial de hidrogˆ enio, o que n˜ao ´ e geralmente o caso, pois o estado degenerado ´ e atin- gido no n´ucleo de estrelas que j´a queimaram o hidrogˆ enio, e os n´ucleos de an˜ as brancas s˜ao predominantemente compostos de He, C, O, ou Ne, todos com A/Z=2. Mas para os n´ucleos de planetas gigantes e an˜as marrons, o 288
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hidrogˆ enio ´ e dominante. Note que a press˜ao dada pela equa¸c˜ ao (23.31) n˜ao depende da temperatura e, portanto, um aumento da temperatura n˜ao causa um aumento da press˜ao e subseq¨uente expans˜ao, que reduziria a tempera- tura. Esse fato tem implica¸c˜ oes na hist´oria evolutiva das estrelas, desde a queima explosiva do h´ elio at´ e a explos˜ao de supernova, como veremos no decorrer deste cap´ ıtulo. Vemos pela equa¸c˜ ao (23.31) que a press˜ao de um g´as de el´ etrons degenerado aumenta como uma potˆ encia 5/3 da densidade. Como para um g´as n˜ao-degenerado a press˜ao aumenta linearmente com a densidade, ´ e claro que, com o aumento de densidade, existe um ponto em que a press˜ao degenerada ser´a maior do que o valor dado pela f´ormula n˜ao degenerada. Podemos definir uma linha no plano ρT dividindo a regi˜ao de- generada da n˜ao-degenerada, calculando-se os valores para os quais as duas f´ormulas s˜ao iguais: N A k μ e ρT = h 2 20 m e 3 π 2 3 N 5 3 A ρ μ e 5 3 ou seja, a press˜ao completamente degenerada supera a press˜ao n˜ao-degene- rada para densidades maiores do que ρ μ e > 2 , 4 × 10 - 8 T 3 2 g / cm 3 Naturalmente, a transi¸c˜ ao de n˜ao-degenerado para degenerado n˜ao ocor- re abruptamente, mas suavemente. Na regi˜ao de transi¸c˜ ao, precisamos uti- lizar a equa¸c˜ ao que discutiremos em uma pr´oxima se¸c˜ ao. Para o interior do Sol, onde ρ/μ e 10 2 g / cm 3 e T 10 7 K, a inequalidade mostra que o g´as est´a completamente n˜ao-degenerado. Para o interior de uma an˜a branca, onde ρ/μ e 10 6 g / cm 3 e T 10 6 K, a inequalidade se satisfaz, e a press˜ao degenerada domina.
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