La valeur esp er ee est justifi ee a long terme si le

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– La valeur esp´ er´ ee est justifi´ ee ` a long terme, si le pari est r´ ep´ et´ e un grand nombre de fois. Mais pourquoi peut-on l’appliquer si l’individu participe une seule fois au jeu ? 1944 : von Neumann et Morgenstern fournissent une axiomatique rigoureuse en´ eralisant la solution propos´ ee par Bernoulli
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 29/ Fig. 1 – John von Neumann (1903–1957) 30/ Id´ ee de la construction de vNM : Supposons A B C Dans un environnement certain, toutes les valeurs a > b > c sont des indices appropri´ es pour repr´ esenter cette pr´ ef´ erence ordinale Introduisons les paris 1 B L 1 p C p A et L et supposons L followsequal L p 2 / 3
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 31/ Alors, on se restreint aux indices d’utilit´ e a > 2 3 a + 1 3 c > c et on a u ( B ) u ( C ) = 2[ u ( A ) u ( B )] = 2 3 ( a c ) char7f Ces diff´ erences d’utilit´ es lors du passage d’une cons´ equence ` a une autre repr´ esentent l’attitude vis-` a-vis du risque de l’individu, et non une amplitude de satisfaction 32/ Hypoth` eses de von Neumann et Morgenstern : Rationalit´ e , ou pr´ eordre complet . Compl´ etude. Pour tout L , L ∈ L , on a L followsequal L ou L followsequal L (ou les deux) Transitivit´ e. Pour tout L , L , L ′′ ∈ L , si L followsequal L et L followsequal L ′′ , alors L followsequal L ′′ Continuit´ e. Pour tout L , L , L ′′ ∈ L , les ensembles { α [0 , 1] : αL + (1 α ) L followsequal L ′′ } et { α [0 , 1] : L ′′ followsequal αL + (1 α ) L } sont ferm´ es. ( L followsequal L followsequal L ′′ ⇒ ∃ α [0 , 1] , αL + (1 α ) L ′′ L ) Axiome d’ind´ ependance. Pour tout L , L , L ′′ ∈ L et α (0 , 1) on a L followsequal L αL + (1 α ) L ′′ followsequal αL + (1 α ) L ′′
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 33/ Th´ eor` eme de von Neumann et Morgenstern. Si la relation de pr´ ef´ erence followsequal sur l’espace des loteries L est rationnelle, continue, et v´ erifie l’axiome d’ind´ ependance, alors elle admet une repr´ esentation sous la forme d’utilit´ e esp´ er´ ee de VNM Autrement dit, on peut assigner des valeurs u ( c ) aux diff´ erentes cons´ equences c C de sorte que pour toutes loteries L = ( p 1 , . . . , p C ) et L = ( p 1 , . . . , p C ) on a L followsequal L summationdisplay c C p c u ( c ) bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright U ( L ) summationdisplay c C p c u ( c ) bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright U ( L ) Propri´ et´ e. Une fonction d’utilit´ e U : L → R a la forme d’utilit´ e esp´ er´ ee de VNM si et seulement si elle est lin´ eaire par rapport aux probabilit´ es , c’est-` a-dire U parenleftBigg K summationdisplay k =1 α k L k parenrightBigg = K summationdisplay k =1 α k U ( L k ) , pour toutes loteries ( L k ) k et probabilit´ es ( α k ) k , avec K k =1 α k = 1 34/
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