2063 lei de stefan boltzmann em 1884 o matematico

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esverdeada e azulada. 20.6.3 Lei de Stefan-Boltzmann Em 1884, o matem´atico austr´ ıaco Josef Stefan (1835-1893) e seu aluno na ´ epoca, o tamb´ em austr´ ıaco Ludwig Boltzmann (1844-1906), descobriram empiricamente que o fluxo (energia por unidade de ´area, por unidade de tempo) de um corpo negro de temperatura T ´ e dado por: F = 2 π Z π/ 2 0 cos θ sen θ dθ Z 0 B ν ( T ) = σT 4 onde σ = 5 , 67 × 10 - 5 ergs cm - 2 K - 4 s - 1 = 5 , 67 × 10 - 8 W m - 2 K - 4 ´ e a cons- tante de Stefan-Boltzmann. Essa lei pode ser demonstrada considerando que: B ( T ) Z 0 B ν = 2 h c 2 Z 0 ν 3 e kT - 1 205
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e definindo-se α kT , B ( T ) = 2 h c 2 kT h 4 Z 0 α 3 e α (1 - e - α ) = 2 h c 2 kT h 4 " 6 X n =0 1 ( n + 1) 4 # = 2 h c 2 kT h 4 π 4 15 = σ π T 4 Uma estrela n˜ao ´ e um corpo negro, pois suas camadas externas, de onde prov´ em a radia¸c˜ ao, n˜ao est˜ao exatamente em equil´ ıbrio t´ ermico. 2 Escrevemos para o fluxo na fotosfera da estrela: F σT 4 ef (20.25) definindo um parˆametro chamado temperatura efetiva T ef . Portanto, para uma estrela esf´ erica de raio R, a luminosidade ´ e obtida multiplicando-se o fluxo pela ´area da fotosfera 4 πR 2 : L = 4 πR 2 σT 4 ef (20.26) A temperatura efetiva de uma estrela ´ e, portanto, a temperatura de um corpo negro que emite a mesma quantidade de energia por unidade de ´area e por unidade de tempo que a estrela. 3 Exemplo: energia do Sol na Terra: a luminosidade do Sol, isto ´ e, a energia total emitida pelo Sol ´ e L = 3 , 9 × 10 33 ergs / s, sendo que 1 Joule 2 Nas estrelas n˜ao acontece o equil´ ıbrio termodinˆamico propriamente dito, pois as ca- madas que a comp˜oem n˜ao est˜ao todas `a mesma temperatura, sendo tanto mais quentes quanto mais pr´oximas est˜ao do n´ucleo, onde a energia ´ e gerada. Mas o transporte dessa energia para as camadas superiores se d´a sem altera¸c˜ ao significativa da distribui¸c˜ ao de tem- peratura das camadas intermedi´ arias, de forma que cada camada permanece em equil´ ıbrio termodinˆamico com ela mesma. Isso denomina-se equil´ ıbrio termodinˆamico local . 3 A defini¸c˜ao de temperatura de um objeto astronˆomico n˜ao ´ e ´unica, pois depende do etodo que estamos usando para medi-la. Assim, a temperatura de uma estrela medida pela lei de Wien (a partir da intensidade em um comprimento de onda), ´ e ligeiramente diferente da sua temperatura medida pela lei de Stefan-Boltzmann (a partir da lumino- sidade e do raio). Esta ´ultima ´ e a temperatura efetiva , enquanto a primeira ´ e chamada temperatura de brilho . Pode-se ainda definir a temperatura de cor , determinada a partir da raz˜ao de fluxos em dois comprimentos de onda diferentes. Essas temperaturas n˜ao s˜ao iguais porque os corpos astronˆomicos n˜ao s˜ao corpos negros perfeitos. 206
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= 10 7 ergs. Como o raio do Sol ´ e de R = 700 000 km, segue da equa¸c˜ ao (20.26) que a temperatura efetiva do Sol ´ e T ef = 5400 K. A energia que atinge a Terra por unidade de ´area e de tempo, por de- fini¸c˜ ao de fluxo, ´ e de: F = L 4 πr 2 onde r ´ e a distˆancia do Sol `a Terra, de 1 unidade astronˆomica (UA) = 150 milh˜oes de km. Portanto, a potˆ encia luminosa interceptada pela Terra, que tem uma sec¸c˜ ao reta πR 2 , onde R ´ e o raio da Terra, R = 6400 km, ´ e dada por: P = πR 2 F = πR 2
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