L 1 u p y c y L En intégrant cette équation une 1 ére fois Lintégration de

L 1 u p y c y l en intégrant cette équation une 1

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L  1 u p y c y L  En intégrant cette équation une 1 ére fois: L’intégration de cette équation une 2 éme fois donne: 2 2 1 p y u c y c 2 L  Déterminons les constantes c 1 et c 2 à partir des conditions aux limites qui sont des conditions d’adhérence aux parois: 0 et ( ) 2 2 1 p h u h c h V L  (0) 0 2 u c 0 d'où 2 1 V p h c h L et finalement 2 0 ( ) 2 2 V p p y h u y h L L  0 ( ) 2 2 V p y hy y h L ouencore 2 1 0 ( ) 2 V p u y y hy x h y h V 0 C’est l’écoulement plan de Couette-Poiseuille : c’est le résultat de la superposition de deux écoulements particuliers de Couette et de Poiseuille plans Profil de vitesse si 0 p x 4
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Ecoulement de Couette: et p x 0 0 0 V Dans ce cas 0 V u y h y h V 0 Profil de vitesse linéaire R e R i V 0 =R e Cet écoulement correspond approximativement à l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux très rapprochés (i.e. R e -R i <<R e ). Un des cylindres est fixe (ici celui interne) et l’autre se déplace à vitesse angulaire constante. Ecoulement de Poiseuille plan : et p x 0 0 : 0 V y h Profil de vitesse Parabolique: Profil de Poiseuille 2 1 ( )= ( ) 2 2 2 p p u= y hy hy y x L 2 max h p u =u( ) h 2 L = 8 5
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II- Ecoulements en conduites cylindriques. 1) Equations du mouvement en coordonnées cylindriques (r, ,z) : Equations valables pour un fluide visqueux incompressible, de viscosité et de densité , en écoulement Laminaire instationnaire. V = ue + ve + we ; u = u(r,θ,z); v = v(r,θ,z); w = w(r,θ,z) z r θ Champ de vitesses: Champ de pression : p=p(r, ,z) Forces de volumes : : f = f e + f e + f e z z r r θ θ Equation de continuité: 1 1 v w V = ( ru)+ + r r z div =0 Equations de Navier- Stokes : θ 2 2 v uv 1 p u v ρ( + )=f - +μ( v+ - ) t r r θ r d∂ 2 ∂ d∂ d d 2 u v p u 2 v ρ( - )=f - +μ( Δu- - ) r 2 2 t r r r z w p ρ =f - +μ w t z d∂ d∂ Avec l’opérateur de dérivation particulaire : v = +u + +w t t r z d∂ d∂ et l’opérateur Laplacien 2 2 2 2 2 2 2 1 1 = + + + r r r z 2 2 2 2 2 1 1 = ( r )+ + r r r z z x y e r e e z 6
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2) Ecoulement en conduite - Ecoulement de Poiseuille : Ecoulement unidirectionnel suivant oz V = we ; w = w(r,θ,z) z Ecoulement de révolution autour de oz V = we ; w = w(r,z) z Fluide incompressible: w z V div =0 =0 w = w(r) En négligeant les forces de volume, l’équation de Navier-stokes obtenue pour un fluide newtonien incompressible donne: (5) (6) (7) 0 0 0 p r p p z    1 w ( r ) r r r (5)et (6) p p(z ) z x y e r e e z a p p cte z L  En intégrant (7): 2 4 p w(r ) r blog r c L 
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  • Fall '16
  • Liquide, Viscosité, Mécanique des fluides, Tuyau, Cylindre

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