Solución supongamos que la ecuación gx y o puede

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Solución. Supongamos que la ecuación g(x, y) = O puede resolverse res- pecto a y en función de x y que una solución sea y = Y(x) para todos los valores de x de un cierto intervalo abierto (a, b). Entonces la función h será h(x) =f[x, Y(x)] si x E (a, b). Aplicando la regla de la cadena tenemos h'(x) = 01 + 01 y'(x). ox ay Con la ecuación (9.26) del ejemplo 1 obtenemos la fórmula Las derivadas parciales del segundo miembro están calculadas en el punto (x, Y(x». Obsérvese que el numerador también puede expresarse como un determinante jacobiano, resultando h'(x) = o(f, g)jo(x, y) . og/oy EJEMPLO 3. Las dos ecuaciones 2x = V,2 - u 2 e y = uu definen u y v como funciones de x e y. Hallar las fórmulas correspondientes aou/ox,ou/oy,ov/ox,ov/oy. Solución. Si mantenemos fija y y derivamos las dos ecuaciones citadas con
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Ejercicios resueltos 365 respecto a x, recordando que u y v son funciones de x e y, obtenemos av au 2 = 2v- - 2u- ax ax y av au O=u-+v-. ax ax Resolviendo estas ecuaciones respecto a dujdx y dV/dX encontramos y Por otra parte, si mantenemos fija x y derivamos las dos ecuaciones dadas res- pecto a y obtenemos las ecuaciones av au 0= 2v- - 2u- ay ay y De este sistema de dos ecuaciones obtenemos au v -=--- ay u 2 + v 2 y EJEMPLO 4. Sea u una función de x e y definida por la ecuación u = F(x + u,yu). Hallar dujéJx y dujdY en función de las derivadas parciales de F. Solución. Supongamos que u = g(x, y) para todo (x, y) en un cierto con- junto abierto S. Sustituyendo g(x,y) por u en la ecuación original obtenemos (9.27) g(x,y) = F[u1(x,y), u 2 (x,y)], en donde u 1 (x, y) = x + g(x, y) y uix, y) = y g(x, y). Mantengamos ahora y fija y derivemos ambos miembros de (9.27) respecto a x, empleando la regla de la cadena en el segundo miembro, con 10 que obtenemos og = D1F aU 1 + D 2 F aU 2 . ax ax ax (9.28) Pero ou1jax = 1 + agjax, y aU2jax = y agjax. Luego (9.28) se convierte en ag = D1F' (1 + Og) + D 2 F . (y a g ) . ax ax ax
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366 Aplicaciones de cálculo diferencial Resolviendo esta ecuación respecto a og/ox (y poniendo ou/ox en lugar de og/ox) obtenemos ou ox Del mismo modo encontramos ag = D F OUl + D F oU 2 = D F og + D F ( og + (x »). oy 1 oy 2 oy 1 oy 2 Y oy g, y Esto nos conduce a la ecuación OU - g(x, y) D 2 F oy DlF + y D 2 F - 1 Las derivadas parciales D,F y D 2 F están calculadas en el punto (x + g(x, y), yg(x, y». EJEMPLO 5. Cuando u se elimina entre las dos ecuaciones x = u + v e y = uv" llegamos a una ecuación de la forma F(x, y, v) = O que define implíci- tamente v como función de x e y, sea v = h(x, y). Demostrar que oh h(x, y) OX - 3h(x, y) - 2x y encontrar una fórmula análoga para ah/ay. Solución. Eliminando u entre las dos ecuaciones dadas, obtenemos la re- lación xv 2 -v 3 _y=O. Sea F la función definida por la ecuación F(x,y, v) = xv 2 - v 3 - y. Podemos aplicar ahora lo dicho en la sección 9.6 y escribir (9.29) oh oF/ox -= --- OX oF/ov y oh oF/oy -= --- oy oF/ov
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Ejercicios resueltos 367 Pero aFjax = v 2 , aFjav = 2xv - 3v 2 y aFjay = -1.
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