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Esta sección nos proporciona una extensión de la fórmula cuando f se reemplaza por un campo escalar definido en un conjunto del espacio de dimensión n, y r por una función vectorial de una variable real cuyos valores están en el domi- nio de f.
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322 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Más adelante extenderemos aún más la fórmula para incluir el caso en el que f y r son ambas campos vectoriales. Resulta fácil imaginarse casos en los que puede presentarse la composición de un campo escalar y un campo vectorial. Por ejemplo, supongamos que f(x) mide la temperatura en un punto x de un sólido tri-dimensional, y supongamos que queremos conocer cómo cambia la temperatura cuando el punto x se mueve a lo largo de una curva C situada en el sólido. Si la curva es descrita por una función vectorial r definida en un intervalo [a, b], podemos introducir una nueva función g mediante la fórmula g(t) = f[r(t)] si a S t S b. Esta función compuesta g expresa la temperatura como función del parámetro t, y su derivada g'(t) mide la variación de la temperatura a lo largo de la curva. La siguiente extensión de la regla de la cadena nos permite caIeular la derivada g'(t) sin determinar g(t) explícitamente. TEOREMA 8.8. REGLA DE LA CADENA. Sea f un campo escalar definido en en un conjunto abierto S de R", y sea r una función vectorial que aplica un intervalo 1 de R 1 en S. Definamos la función compuesta g = f o r en 1 mediante la ecuación g(t) = f[r(t)] si t EJ. Sea t un punto de 1 en el que r'(t) existe y supongamos que f es diierenciable en r(t). Existe entonces g'(t) y es igual al producto escalar (8.15) g'(t) = Vf(a)' r'(t), donde a _= r(t). Demostración. Pongamos a = r(t), siendo t un punto de 1 en el que r'(t) exista. Puesto que S es abierto existe una n-bola B(a) situada en S. Tomemos h =1=- O lo bastante pequeño para que r(t + h) esté situada en B(a), y pongamos y = r(t + h) - r(t). Obsérvese que y ---+ O cuando h ~ O. Tenemos ahora g(t + h) - g(t) = f[r(t + h)] - f[r(t)] = fea + y) - f(a). Aplicando la fórmula de Taylor de primer orden a f tenemos fea + y) - fea) = Vf(a)' y + /ly/l E(a, y), donde E(a,y)---+O cuando Ilyll---+O. Ya que y = r(t + h) - r(t)esto nos da g(t + h) - g(t) = Vf(a) . r(t + h) - r(t) + Ilr(t + h) - r(t)11 E(a y). h h h'
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Regla de la cadena para derivadas de campos escalares 323 Haciendo que h ~ O obtenemos (8.15). EJEMPLO 1. Derivada direccional a lo largo de una curva. Cuando la fun- ción r describe una curva e, la derivada r' es el vector velocidad (tangente a la curva) y la derivada g' de la ecuación (8.15) es la derivada de I respecto al vector velocidad, suponiendo que r' 7'= O. Si T(t) es un vector unitario en la dirección de r'(t) (T es el vector tangente unitario), el producto escalar Vf[r(t)] . T(t) se llama derivada direccional de I a lo largo de la curva e o en la dirección de C. Para una curva plana podemos escribir T(t) = cos lX(t); + cos f3(t)j, siendo a(t) y (3(t) los ángulos formados por el vector T (t) Y los ejes x e y posi- tivos; la derivada direccional de I a lo largo de e es en este caso Vf[r(t)] . T(t) = Dd[r(t)] cos lX(t) + Dd[r(t)] cos f3(t).
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