Para hallar el volumen m\u00e1ximo reemplazamos en la funci\u00f3n objetivo 243 2 4 3 3 3

Para hallar el volumen máximo reemplazamos en la

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Para hallar el volumen máximo reemplazamos en la función objetivo: ? = 𝜋 (2(4𝑅/3) 2 𝑅 − ( 4𝑅 3 ) 3 ) 3 Obteniendo ? = 32𝜋𝑅 3 81 5. Una ventana Normanda se construye juntando un semicírculo a la parte superior de una ventana rectangular ordinaria. Encontrar las dimensiones y el área de dicha ventana si su perímetro total es de 16 m y su área debe ser máxima. Solución: Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano: Área total = Área del Semicírculo + Área del rectángulo    2 2 2 2 x x 16 ( 2)x x A(x) 2xy 2x 16x 2x 2 2 2 2 Derivando e igualando a cero se tiene: Perímetro: 16 16 = longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectángulo. 16= x + 2x + 2y Qué pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser máximo. Entonces el área total es: x X Y 0 y
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería     16 A'(x) 16 x 4x 0 x 4 Use el criterio de la segunda derivada.      16 A''(x) 4 0 A 4 Es valor máximo de la función área. Por lo tanto, las dimensiones de la venta son: Radio del círculo:   16 x 4 ; Base del rectángulo:   32 2x 4 Altura del rectángulo:                 16 16 ( 2) 16 ( 2)x 16( 4) 16( 2) 16 ( 4) y 2 2 2( 4) ( 4) Altura de la ventana:   32 y x 4 Área de la ventana:           2 2 2 16 16 16 16 128 4 A 16 2 m 4 4 2 4 4 6. Se utilizarán 20 m de alambre para cercar dos terrenos de diferentes formas. ¿Qué cantidad de alambre debe utilizarse en cada uno de los siguientes casos, para que el área total encerrada sea máxima? a) Triángulo equilátero y cuadrado. b) Hexágono regular y círculo. Solución: a) Triángulo equilátero y cuadrado. 𝑎 𝑎 𝑎 𝒍 𝒍
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Perímetro del triángulo = 3𝑎 Perímetro del cuadrado = 4? Luego: 3𝑎 + 4? = 20 → 𝑎 = 20−4𝑙 3 La función objetivo es el área: ? = 𝑎 2 √3 4 + ? 2 Reemplazando se tiene: ? = (20 − 4?) 2 √3 36 + ? 2 Derivando la función objetivo se tiene: ?′ = −2(20 − 4?)√3 9 + 2? Igualando la derivada a cero, se tiene: 2? = 2(20 − 4?)√3 9 → 9? = 20√3 − 4√3 ? → (9 + 4√3 )? = 20√3 Despejando el lado del cuadrado, se tiene: ? = 20√3 9 + 4√3 Reemplazamos para hallar el valor de 𝑎 = 180−80 3 11 Para que el área sea máxima, se debe tomar: Para el triángulo = 540−240√3 11 metros de alambre Para el cuadrado = 80√3 9+4√3 metros de alambre b) Hexágono regular y círculo. 𝒓
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniería Perímetro del hexágono = 6𝑎 Perímetro del círculo = 2𝜋?
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  • Punto, Cilindro, Triángulo equilátero, Coordenadas cartesianas, Círculo, Triángulo rectángulo

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