Merupakan sudut lancip 0 2 atau tumpul 2 sudut antara

merupakan sudut lancip 0 < 𝜃 <
𝜋
2
atau tumpul
( 𝜋
2
< 𝜃 <

Sudut Antara Dua Vektor
• Perhatikan dua titik ?
1
?
1
, ?
1
dan ?
2
?
2
, ?
2
yang berada pada satu
garis ax + by +c = 0. Vektor ?
1
?
2
= ?
2
− ?
1
, ?
2
− ?
1
juga pada garis
tersebut.
• Hubungan vektor ?
1
?
2
dengan koefisien garis dapat dilihat dengan
mensubstitusikan kedua titik pada persamaan garis
??
1
+ ??
1
+ ? = 0
??
2
+ ??
2
+ ? = 0
• Selisih keduanya memberikan ?(?
1
−?
2
) + ?(?
1
−?
2
) = 0 , dimana
ruas kiri merupakan perkalian titik antara vektor ?
1
?
2
dengan vektor
normal ? = ?, ? yang keduanya saling ortogonal.

Sifat dan Operasi Perkalian Titik
• ? ∙ ? = ? ∙ ?
• ? ∙ ? + ? = ? ∙ ? + ? ∙ ?
• ? ? ∙ ? = ? ? ∙ ? = ? ∙ ? ?
• ? ∙ ? > 0 jika ? ≠ 0 dan ? ∙ ? = 0 jika ? = 0

Proyeksi Ortogonal
• Penggunaan proyeksi dapat dijumpai dalam banyak hal.
• Gaya sebagai vektor merupakan salah satu contoh, dimana proyeksi
pada sumbu-sumbu koordinat banyak dilakukan untuk kepentingan
perhitungan.
• Pada bagian ini akan diperkenalkan proyeksi suatu vektor pada vektor
lain.

Proyeksi Ortogonal
• Harus ada referensi suatu vektor lain, misal ?
• ? dan ? merupakan dua vektor yang diberikan
• ?
1
merupakan proyeksi ? pada ? , ditulis ????
𝑎
?
• Sedangkan vektor ?
2
tegak lurus terhadap ?
1
dan berlaku ?
2
= ? −
?
1

Proyeksi Ortogonal
• Karena ?
1
paralel terhadap ? , kita nyatakan ?
1
sebagai kelipatan dari
? , yaitu ?
1
= 𝛼 ? sehingga
? = ?
1
+ ?
2
= 𝛼 ? + ?
2
• Perkalian titik ? dengan ? memberikan
? ∙ ? = 𝛼 ? ∙ ? + ?
2
∙ ? = 𝛼 ? ∙ ?
• Jadi vektor proyeksi ? pada ? dihitung menggunakan
?
𝑎
? = ????
𝑎
? =
? ∙ ?
?
2
?

Proyeksi Ortogonal
• Dengan Demikian
? − ?
𝑎
? = ? −
? ∙ ?
?
2
?
• Dan
?
𝑎
? =
? ∙ ?
?
2
? =
? ∙ ?
?
2
? =
| ? ∙ ?|
|?|
2
? =
| ? ∙ ?|
?
= ? | cos 𝜃 |
• Dimana
cos 𝜃 =
?∙ 𝑎
? | 𝑎|
, 𝜃 adalah sudut antara ? dan ?

Proyeksi Ortogonal
• Salah satu aplikasi vektor proyeksi adalah dalam menghitung jarak
titik ke garis, seperti diuraikan berikut. Jika D merupakan jarak antara
?
0
?
0
, ?
0
ke garis ? : ?? + ?? + ? = 0 , tentukan rumus jarak D.

Proyeksi Ortogonal
• Ambil sebarang titik ? yang berada pada garis ? , dan buat vektor ??
0
seperti:

Proyeksi Ortogonal
• Proyeksikan ??
0
ke garis ? , yang mempunyai normal ? = ?, ? yaitu
?
𝑛
??
0
=
??
0
∙ ?
? 2
?
• Jarak ?
0
ke garis ? adalah
𝐷 = ?
𝑛
??
0
=
??
0
∙ ?
?
2
? =
|? ?
0
− ?
1
+ ? ?
0
− ?
1
|
? 2 + ? 2

Proyeksi Ortogonal
• Karena ? ?
1
, ?