6 Produit de la troisième lignes de L par la quatrième colonne de U Ce qui

6 produit de la troisième lignes de l par la

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6 . Produit de la troisième lignes de L par la quatrième colonne de U . Ce qui permet d’obtenir : 7 . Produit de la quatrième lignes de L par la quatrième colonne de U . On obtient: systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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De façon générale, on a l’algorithme suivant : 1 . Décomposition LU (sans permutation de lignes) - Première colonne de L : - Première ligne de U : - Pour i = 2 , 3 , 4 , …,n -1: Calcul du pivot : - Pour j = i +1 , i+2 ,…,n: - Calcul de la i ème ligne de U systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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- Calcul de : - Descente et remontée triangulaire pour résoudre - Pour i = 2, 3, 4 ,…n Remontée triangulaire pour résoudre - - Pour i = n-1, n-2 ,… 2, 1 : systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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Remarques : 1 ) L’algorithme précédent ne fonctionne que si les pivots sont tous non nuls. Ce n’est pas toujours le cas et il est possible qu’il faille permuter deux lignes pour éviter cette situation, tout comme pour l’élimination de Gauss. La coefficient est encore appelé pivot. Nous abordons un peu plus loin la technique du meilleur pivot. 2 ) Notation compacte pour éviter de garder inutilement en mémoire des matrices de grande taille. La notation compacte de la décomposition LU est la matrice de coefficients : systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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Exemples Soit le système : La matrice compacte est donc : La matrice A vérifie nécessairement: - systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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Décomposition LU de la matrice A . - systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI Méthodes directes LU factorisation de Crout
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4. 2 2 Décomposition LU avec permutation de lignes La décomposition LU exige soient tous non nuls. Dans le cas contraire il faut essayer de permuter deux lignes. Contrairement à la méthode d’élimination de Gauss, la décomposition LU n’utilise le terme de droite qu’à toute fin au moment de la descente triangulaire . Si l’on permute des lignes, on doit en garder la trace de façon à effectuer les mêmes permutations sur . A cette fin, on introduit un vecteur dit de permutations qui contient tout simplement la numérotation des équations. Remarque Dans la décomposition LU , la permutation de lignes s’effectue toujours après le calcul de chaque colonne de L . On place en position pivot le Méthodes directes : LU avec permutation de lignes systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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plus grand terme en valeur absolue de cette colonne (sous le pivot actuel) pour des raisons de précision que nous verrons plus loin. Illustrons cela par un exemple. Exemple Soient : et 1 . Première colonne de L Puisqu’il s’agit de la première colonne de A, on a : On effectue Méthodes directes : LU avec permutation de lignes systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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Première ligne de U il suffit de diviser cette ligne par le nouveau pivot 3 : Deuxième colonne de L Méthodes directes : LU avec permutation de lignes systèmes algébriques. Pr. RACHID SEHAQUI
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On a maintenant :
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  • Fall '16
  • matrice diagonale, Mathématiques, Analyse numérique, Décomposition LU

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