Si le syst eme est conservatif le travail des

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Si le syst` eme est conservatif, le travail des chargements ext´ erieurs est stoqu´ e sous la forme d’´ energie interne. On a donc l’´ egalit´ e W int = W ext . On peut donc ´ enoncer de fa¸con plus g´ en´ erale, le th´ eor` eme de Castigliano comme : Pour un effort F~n en un point A, ~u A . ~n = ∂W int ∂F (2.56) Pour un couple C~n en un point A, A . ~n = ∂W int ∂C (2.57) Erreur classique : Il ne faut pas calculer l’int´ egrale de l’´ energie de d´ eformation, avant de faire la d´ erivation par rapport au param` etre q , mais ´ echanger les signes int´ egration et d´ erivation 48 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.33 – Un syst` eme hyperstatique int´ erieurement n´ ecessite d’effectuer une coupure en un point arbitraire C. pour faire la d´ erivation en premier. En effet, si une composante ne d´ epend pas du param` etre de erivation (par exemple N ), le terme 2 N ∂N ∂q = 0, cela n’aurait servi `a rien de calculer 1 2 R poutre N 2 ES . utilisation en un point non charg´ e : Ajout au chargement r´ eel d’un chargement fictif dual du eplacement recherch´ e, puis utilisation du th´ eor` eme de Castigliano, pour enfin annuler le charge- ment fictif. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 059. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. 2.5.3 esolution de syst` emes hyperstatiques ext´ erieurement Dans le paragraphe 2.3.3, vous avez d´ etermin´ e si le syt` eme ´ etudi´ e ´ etait isostatique ou hypersta- tique par rapport aux liaisons avec le monde ext´ erieur. Pour chaque inconnue hyperstatique, vous avez ´ ecrit, paragraphe 2.3.3, l’´ equation cin´ ematique associ´ ee permettant d’obtenir une ´ equation suppl´ ementaire. le calcul de la valeur du degr´ e de libert´ e associ´ e peut ˆ etre faite : – par les formules de Bresse, appliqu´ ees au syst` eme isostatique associ´ e. – par Castigliano. int´ erieurement Un syst` eme est hyperstatique int´ erieurement, lorsque pour la fibre moyenne est ferm´ ee. En effet, si l’on effectue une ´ etude du torseur des efforts int´ erieurs en un point H, il est n´ ecessaire de d´ efinir les segments seg+ et seg -. Or, ces segements sont reli´ es entre eux par la fibre moyenne sans passer par H, car cette fibre moyenne est ferm´ ee. Il est alors impossible de d´ efinir le torseur des efforts int´ erieurs. Le d´ emarche `a suivre est donc la suivante : – on choisit un point de coupure C sur la fibre moyenne ferm´ e. – on coupe par la pens´ ee la fibre moyenne en C – on charge les deux faces de la coupure avec deux torseurs { τ 1 } et { τ 2 } sont les 6 composantes sont inconnues. Nous avons donc `a priori 12 inconnues hyperstatiques. Dans le cas d’un 49 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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probl` eme plan, les deux torseurs n’auront que 3 inconnues chacun : deux de r´ esultantes et une de moment.
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