Considera una parábola general expresada de la forma y ax 2 bx c a Como en el

Considera una parábola general expresada de la forma

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ser derivable en este punto. Considera una parábola general expresada de la forma: y = ax 2 + bx + c a) Como en el vértice la tangente será horizontal, la derivada se anula en ese punto. Compruébalo y despeja el valor de x . b) Encuentra también el valor de y , aplicándolo a la parábola y = − 2 x 2 + 8 x + 4. PARA FINALIZAR… Sea . Estudia si f ( x ) y f ' ( x ) son constantes. Al ser f ' ( x ) constante y no nula, la función f ( x ) no es constante. f x sen x cos x cos x co ' ( ) ( = + + + 1 1 1 1 2 s x sen x cos x cos x x sen x ) ( ) ( ) + + = + + + = = 2 2 2 2 1 1 1 cos cos x cos x cos x sen x cos x cos x + + + + = + + = 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 f x arc tg sen x cos x ( ) = + 1 120 b) x b a y a b a b b a = − = + 2 2 2 2 + = + = + c b a b a c b ac a 2 2 2 4 2 4 4 a) y ax b ax b x b a ' = + + = = − 2 2 0 2 119 lim f h f h l lim f h f l l h h 0 0 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ( ) ( )) + = + = im h lim f h f lim f h h h h 0 0 0 3 3 0 3 ( ( ) ( )) ( ) + = + = lim f h 0 3 ( ) 10 SOLUCIONARIO
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488 Dada la gráfica de una función f ( x ), representa la función f ' ( x ) de forma aproximada. Si la gráfica de una función f ' ( x ) es la siguiente, representa de forma aproximada la función f ( x ). Si f ( x ) y g ( x ) son funciones inversas, es decir, ( g f )( x ) = x , ¿se verifica que ( g ' f ' )( x ) = x ? No se verifica. Si se consideran las funciones f ( x ) = x 3 y g ( x ) = , se tiene que son inversas ya que cumplen que: ( g o f )( x ) = x Sin embargo, resulta que: Luego f ’( x ) y g ’( x ) no son funciones inversas. Se define el ángulo de dos curvas en un punto común como el ángulo formado por sus rectas tangentes en ese punto. Aplícalo a las curvas y = x 2 y x = y 2 . es el punto de intersección de las curvas. La recta tangente en este punto a la primera curva es: y = 0 La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: x = 0 Como las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman las dos curvas mide 90°. Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada. Resuelve la ecuación 12 x 3 16 x 2 + 7 x 1 = 0, sabiendo que una de sus raíces es doble. Si un polinomio tiene una raíz doble a , entonces: f ( x ) = ( x a ) 2 p ( x ) Por tanto, a es también una raíz de la derivada. f x x a p x x a p x x a p x ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) = + = + 2 2 2 ( ) ( )] x a p x ' 125 y x x y = = 2 2 0 0 ( , ) 124 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) g f x g f x g x x x ' ' ' ' ' = = = = 3 1 3 3 1 3 9 2 2 2 3 x x 3 x 3 123 Y X 1 1 f ( x ) 122 Y X 1 1 f ’( x ) 121 Derivada de una función Y X 1 1 Y X 1 1 f ’( x ) f ( x )
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489 Sea . Como , resulta que: Y como una de las raíces es doble coincide con una de las anteriores: Las soluciones de la ecuación son: (doble) y ¿Cómo debe descomponerse un número positivo a en la suma de dos números no negativos para que la suma de los cuadrados de los dos sumandos sea mínima? ¿Y para que sea máxima? Sea x tal que de modo que a = x + ( a x ).
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