Siendo x t \u00b2 y v t \u00b2 la posici\u00f3n y la velocidad en todo tiempo de la masa se

Siendo x t ² y v t ² la posición y la velocidad en

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Siendo x t ± ² y v t ± ² la posición y la velocidad en todo tiempo de la masa, se tiene que se cumple el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: ` ± ² ³ ± ² x t v t ` ± ² ³ ´ ± ² v t x t k m Mediante una hoja de cálculo hemos implementado un procedimiento numérico para visualizar el comportamiento de las funciones x t ± ² y v t ± ² en el caso particular de k ³ 1 , m ³ 1 y las condiciones iniciales x 0 0 ± ² ³ y v 0 1 ± ² ³ . De este modo llegamos a establecer que, en el caso de las ecuaciones: ` ± ² ³ ± ² x t v t y ` ± ² ³ ´ ± ² v t x t x x ±฀ 0 y ( t ) x ( t ) m antiderivada F x x x ± ² ³ ´ µ ± ² µ µ A B c o s B C D E f x x ± ² ³ µ ± ² µ A B C D s e n derivada f x x ` ± ² ³ µ ± ² A B c o s B C F x x x ± ² ³ µ ± ² µ µ A B C D s e n B E derivada f x x ± ² ³ µ ± ² µ A c o s B C D antiderivada f x x ` ± ² ³ ´ µ ± ² A B B C s e n
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Tema 1.7 Valor Exacto del cambio acumulado. Modelo trigonométrico. r 333 Conocemos la derivada de f x x ± ² = s e n B , que es f x x ` ± ² = B c o s B y la derivada de f x x ± ² = c o s B , que es f x x ` ± ² = - B s e n B . Estas reglas nos permiten hacer conjeturas sobre cuáles son las funciones x t ± ² y v t ± ² que satisfacen las ecuaciones x t v t ` ± ² ³ ± ² y v t x t ` ± ² ³ ´ ± ² k m Por ejemplo, a modo de “ensayo y error”, podríamos proponer que la solución para x t ± ² del sistema de ecuaciones diferenciales sea x t t ± ² ³ k m s e n . Partiendo de la conjetura hecha, debemos ver ahora que se cumplan las ecuaciones diferenciales, pero veamos lo que pasa porque, como conjetu- ra, está sujeta a ser comprobada… Por una parte, derivando la función x t ± ² propuesta encontramos la función v t ± ² . x t t v t ` ± ² ³ ³ ± ² k m c o s Tenemos entonces declarada la función v t ± ² en base a la conjetura hecha como v t ± ² ³ k m c o s t . Si derivamos ahora a v t ± ² , deberíamos obtener lo que expresa la se- gunda ecuación diferencial arriba, a saber, que v t x t ` ± ² ³ ´ ± ² k m Veamos si esto es así… derivamos v t ± ² : v t t ` ± ² ³ ´ ± ² ³ ´ k m k m s e n s e n t la solución la dan las funciones x t t ± ² ³ ± ² s e n y v t t ± ² ³ ± ² c o s cuyas derivadas son: x t t ` ± ² ³ ± ² c o s y v t t ` ± ² ³ ´ ± ² s e n Conjetura y corrobora cuáles son las funciones x t ± ² y v t ± ² para que las ecuaciones originales (con k y m ) se satisfagan. Considera las mismas condiciones iniciales x 0 0 ± ² ³ , v 0 1 ± ² ³ . Hacer una conjetura es formarse un juicio sobre algo que no es evidente apoyándose en indicios y observaciones. ¡T OMA NOTA ! La historia de la Matemática está llena de inferencias que los matemáticos proponen como conjeturas …después ganan su validez en la teoría.
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