Consideremos una función f s r donde s es un

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Consideremos una función f: S -+ R'", donde S es un subconjunto de R", Si a E R" y b e R'" escribimos (8.1) limf(x) = b :fC---+O (o, f(x) -+ b cuando x -+ a) para significar que (8.2) lim Ilf(x) - bil = O. Ilx-all-O El símbolo de límite de la igualdad (8.2) es el límite corriente del Cálculo ele- mental. En esta definición no se exige que f esté definida en el mismo punto a. Si escribimos h = x - a , la igualdad (8.2) se convierte en lim Ilf(a + h) - bll = O. II h ll-O Para los puntos de R2 escribimos (x, y) para x y (a, b) para a y expresamos la relación de límite (8.1) como sigue: Iim f(x, y) = b. (x.y) ...•(u.b) Para los puntos de R3 ponemos x = (x, y, z) y a = (a, b, e) y escribimos lim f(x, y, z) = b . (X,lI,Z) -+ (n,b,e) Una función f se llama continua en a si f está definida en a y si lim f(x) = f(a). x-a Decimos que f es continua en un conjunto S si f es continua en cada punto de S.
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Límites y continuidad 303 Puesto que esas definiciones son extensiones directas del caso uni-dimensio- nal, no debe sorprender que muchas de las propiedades de los límites y de la continuidad pueden también extenderse. Por ejemplo, los teoremas relativos a los límites y a la continuidad de sumas, productos y cocientes son también cier- tos para campos escalares. Para campos vectoriales, los cocientes no están defi- nidos pero tenemos el teorema siguiente relativo a sumas, multiplicación por es- calares, productos interiores y normas. TEOREMA 8.1. Si lim f(x) = b Y lim g(x) = el, tenemos también: s_a $_Q a) lim [f(x) + g(x)] = b + e. ,,-a b) lim Af(x) = Ab para todo escalar A. "-a e) lim f(x)' g(x) = b : e. ,,_a d) lim 11 f(x) 11 = Ilbll. ,,__a Demostración. Sólo vamos a demostrar las partes e) y d): las demostracio- nes de a) y b) se dejan como ejercicios para el lector. Para demostrar e) escribimos f(x)' g(x) - b : e = [f(x) - b] . [g(x) - e] + [g(x) - e] + e' [f(x) - b]. Apliquemos ahora la desigualdad triangular y la desigualdad de Cauchy-Schwarz obteniendo o ~ 11{(x). glX) - b . ell ~ 11{(x)"- bll Ilg(x) - e] + Ilbll Ilg(x) - cll + Ilcll 11{(x)- bll· Puesto que ¡II{(x) - bll -+ O y IIg(x) - e] -+ O cuando x -+ a, esto prueba que IIJtx) . g(x) - b . e] -+ O cuando x -+ a, lo cual demuestra c). Tomando f(x) = g(x) en el apartado c) encontramos lim IIf(x)11 2 = Ilb11 2 , "-a de la que obtenemos d). EJEMPLO 1. Continuidad y componentes de un campo vectorial. Si un cam- po vectorial f tiene los valores en R'", cada uno de los valores f(x) tiene m como ponentes y podemos escribir f(x) = (f¡(x), ..• ,fm(x».
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304 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Los m campos escalares i., ... ,fm se llaman componentes del campo vectorial f. Demostraremos que f es continuo en un punto si, y sólo si, cada componente /k es continuo en dicho punto. Designemos con e k el k-ésimo vector coordenado unidad (todos los compo- nentes de e k son O excepto el k-ésimo, que es igual a 1). Entonces J;.(x) viene dado por el producto interior Por consiguiente, el apartado e) del teorema 8.1 demuestra que cada punto de continuidad de f lo es también de fb Además, puesto que tenemos m f(x) = !
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