Syst eme isostatique associ e on appelle syst eme

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syst` eme isostatique associ´ e On appelle syst` eme isostatique associ´ e, le syst` eme identique g´ eom´ etriquement, mais dont les liaisons o`u ont ´ et´ e choisies une inconnue hyperstatique sont modifi´ ees : 1. si l’inconnue hyperstatique est une force dans la direction ~ i , le degr´ e de libert´ e associ´ e, la translation dans la direction ~ i , est lib´ er´ ee. La liaison est donc remplac´ ee par la liaison qui bloque les mˆ emes degr´ es de libert´ e saut ce degr´ e de libert´ e. Par exemple, si le probl` eme est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transform´ ee en une liaison glissi` ere d’axe ~ i . Si le probl` eme dans le plan ( A , ~ i , ~ j ), une liaison appuis simple sera remplac´ ee par une liaison appuis sur rouleau de normale ~ j . 2. si l’inconnue hyperstatique est un couple dans la direction ~ i , le degr´ e de libert´ e associ´ e, la rotation dans la direction ~ i , est lib´ er´ ee. La liaison est donc remplac´ ee par la liaison qui bloque les mˆ emes degr´ es de libert´ e saut ce degr´ e de libert´ e. Par exemple, si le probl` eme est tridimensionnel, une liaison encastrement, sera transform´ ee en une liaison pivot d’axe ~ i . Ce syst` eme isostatique associ´ e est consid´ e comme charg´ e par 1. le mˆ eme chargement ext´ erieur que le syst` eme initial, 2. auquel on ajout les inconnues hyperstatiques, qui sont alors consid´ er´ ee comme un chargement connu. equation associ´ ee ` a une inconnue hyperstatique Le probl` eme isostatique associ´ e peut donc ˆ etre r´ esolu compl` etement en fonction des donn´ ees de chargement et des inconnues hyperstatiques. Appelons cette solution solution 1 . Pour retrouver le probl` eme initial, l’inconnue hyperstatique assurait que le d´ eplacement associ´ e `a celle-ci ´ etait nul. Il faut donc rajouter une ´ equation cin´ ematique par inconnue hyperstatique : 1. si l’inconnue hyperstatique est une force R ~ i au point B , le d´ eplacement dans cette direction en ce point doit ˆ etre nul : ~u B . ~ i = 0. 2. si l’inconnue hyperstatique est un couple C ~ i au point B , la rotation dans cette direction en ce point doit ˆ etre nul : ˘ ω B . ~ i = 0. 16 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.6 – D´ etermination du degr´ e d’hyperstatisme pour un syst` eme 3D. 17 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.7 – D´ etermination du degr´ e d’hyperstatisme pour un syst` eme 2D. 18 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.8 – Les concepts utiles `a la d´ etermination du degr´ e d’hyperstatisme et des r´ eactions aux liaisons. Ces ´ equations suppl´ ementaires, fournissent des relations entre les inconnues hyperstatiques et les chargements. Elle permettent donc de d´ eterminer les inconnues hyperstatiques en fonction du chargement. La solution compl` ete du probl` eme qui v´ erifie les conditions aux limites du probl` eme de d´ epart, exprim´ e en fonction uniquement du chargement du probl` eme de d´ epart, est alors connue en rempla- cant les inconnues hyperstatiques par leur expression en fonction du chargement dans la solution 1.
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