Isto é chamado derivação e integração termo a

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Isto é chamado derivação e integração termo a termo. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO SÉRIES DE POTÊNCIAS
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DIF. E INT. TERMO A TERMO Se a série de potências Σ c n ( x a ) n tiver um raio de convergência R > 0, então a função f definida por é diferenciável (e portanto contínua) no intervalo ( a R , a + R ). 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n n f x c c x a c x a c x a = = + - + - + = - Teorema 2
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Além disso, (i) (ii) O raio de convergência das sériee de potências nas Equações (i) and (ii) são ambas R . 2 1 2 3 1 1 '( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( ) n n n f x c c x a c x a nc x a - = = + - + - + = - 2 3 0 1 2 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ... 2 3 ( ) 1 n n n x a x a f x dx C c x a c c c x a C n + = - - = + - + + + - = + + DIF. E INT. TERMO A TERMO Teorema 2
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OBSERVAÇÃO 1 As Equações (i) and (ii) no Teorema 2 podem ser rescritas na forma: (iii) (iv) 0 0 ( ) ( ) n n n n n n d d c x a c x a dx dx = = - = - 0 0 ( ) ( ) n n n n n n c x a dx c x a dx = = - = -
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OBSERVAÇÃO 1 Para somas finitas, sabemos que: A derivada da soma é a soma das derivadas. A integral de uma soma é a soma das integrais. As Equações (iii) and (iv) afirma que o mesmo é verdadeiro para somas desde que estejamos lidando com séries de potências. Por exemplo, é possível mostrar que se Então a série converge para todos os valores de x , mas a série de derivadas diverge quando x = 2nπ , n ϵ Z 2 ) ( sen ) ( n nx x f n = = 1 ) ( n n x f
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OBSERVAÇÃO 2 O Teorema 2 diz que o raio de convergência permanece o mesmo quando uma série de potências é derivada ou integrada. Entretanto, isto não significa que o intervalo de convergência permanece o mesmo.
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OBSERVAÇÃO 2 Pode acontecer de a série original convergir em uma extremidade enquanto a série derivada diverge nesse ponto.
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Expresse 1/(1 – x ) 2 como uma série de potências pela derivação de 1/(1 – x) . Qual é o raio de convergência? DIF. E INT. TERMO A TERMO Exemplo 4
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Encontre uma representação em série de potências para l n(1 – x ) e seu raio de convergência. DIF. E INT. TERMO A TERMO Exemplo 5
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Encontre uma representação em série de potências para f ( x ) = arctg x . DIF. E INT. TERMO A TERMO Exemplo 6
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Note que, quando x = 1, a série se torna: Esse belo resultado é conhecio como a fórmula de Leibniz para π . 1 1 1 1 ... 4 3 5 7 π = - + - +
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a. Calcule [1/(1 + x 7 )] dx como uma série de potências. b. Use a parte (a) para aproximar com precisão de10 –7 . Exemplo 7 0.5 7 0 [1/(1 )] x dx + DIF. E INT. TERMO A TERMO
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