Un modelo matemático para este problema sugerido por

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Un modelo matemático para este problema (sugerido por consideraciones físicas que aquí no comentaremos) es la ecuación en derivadas parciales en la que e es una constante positiva que depende de las características físicas de la cuerda. Esta ecuación es la llamada ecuación de ondas uni-dimensional. La re- solveremos teniendo en cuenta ciertas condiciones auxiliares. -1 -1 o l~X'l) X-_I"""~,---"- ~. x -2 -1 O 1 2 e) t = 1 a) t = O b) t = ! FIGURA 9.1 Curva de desplazamiento y = f(x, t) para varios valores de t. Puesto que el desplazamiento inicial es la curva dada y = F(x), vamos a buscar una solución que satisfaga la condición f(x, O) = F(x).
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352 Aplicaciones de cálculo diferencial Supondremos también que ay/at, la velocidad de desplazamiento vertical, está dada en el instante t = O, a saber Daf(x, O) = G(x), siendo G una función dada. Parece razonable pensar que esta información debe- ría bastar para determinar el subsiguiente movimiento de la cuerda. Demostrare- mos que esto es cierto, efectivamente, determinando la función f por medio de F y G. La solución se expresa en una forma dada por lean d'Alembert (1717- 1783), matemático y filósofo francés. TEOREMA 9.2. SOLUCIÓN DE D'ALEMBERT DE LA ECUACIÓN DE ONDAS. Dadas las funciones F y G tales que G es derivable y F dos veces derivable en R\ La función f dada por la fórmula (9.11) f(x, t) = F(x + et) + F(x - et) + 1.. (x+e!G(s) ds 2 2e jx-e! satisface la ecuación de ondas uni-dimensional (9.12) y las condiciones iniciales (9.13) f(x, O) = F(x), Dd(x, O) = G(x). Recíprocamente, cualquier función f con derivadas parciales iguales que satisfaga (9.12) y (9.13) tiene necesariamente la forma (9.11). Demostración. Comprobar que la función f dada por (9.11) satisface la ecuación de ondas y las condiciones iniciales, es un ejercicio que dejamos al lector. Demostraremos el recíproco. Un modo de hacerlo consiste en suponer que f es una solución de la ecuación de ondas, introducir un cambio lineal de variables, x = Au + Bv , t = Cu + Dv, que transforma f(x, t) en una función de u y v, g(u, v) = f(Au + Bv, Cu + Dv),
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La ecuación de ondas uní-dimensional 353 y elegir las constantes A, B. e, D de modo que g satisfaga la ecuación más sen- cilla Resolviendo esta ecuación encontramos que gt», v) = <PI(U)+ <P2(V), donde <PI(U) es una función de u solamente y donde <P2(V) sólo lo es de u. Las constantes A, B, e, D pueden elegirse de manera que u=x+et, v=x-et, de donde obtenemos (9.14) f(x, 1) = <PI(X + el) + <P2(X - el). Hecho esto utilizamos las condiciones iniciales (9.13) para determinar las fun- ciones <PI y <P2 por medio de las funciones dadas F y G. Obtendremos (9.14) por medio de otro método que utiliza el teorema 9.1 y evita el cambio de variables. Escribimos primero la ecuación de ondas en la forma (9:15) siendo L I Y ~ operadores diferenciales lineales de primer orden dados por a a L =--e- I at ax' Sea f una solución de (9.15) y pongamos u(x, t) = ~f(x, t).
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