Ta ch ng ứ minh f x x n 1 2 x n 1 có nhi u ề nh

This preview shows page 62 - 64 out of 115 pages.

Ta ch ng minh f ( x ) = x n + 1 2 x n + 1 có nhi u nh t hai nghi m không âm. Th t v y, rõ ràng x = 1 là nghi m, nh ng ư ta không quan tâm đ n ế nghi m này, b i u ƒ= 1 ( do ph ng ươ trình 1 + 1 + 1 2 + · · · = 1 n là không th x y ra v i n 2, ta có nghi m này vì ta nhân ph ng trình ươ v i (1-u)). Đi u này có nghĩa là ta c n ch ra m t nghi m u không âm th a mãn ph ng ươ trình :1 + u + u 2 + · · · + u n 1 = u n . Th t v y, t đ o hàm c a f ( x ) f ( x ) j = ( n + 1 ) x n 2 nx n 1 , d th y r ng f ( x ) hàm đ n đi u gi m ơ v i x [ 0; 2 n n + 1 2 n ] và đ n ơ đi u tăng v i x ∈ [ n + 1 ; + ) . V i m i đo n trên , hàm f ( x ) ch có th có m t nghi m, do v y f ( x ) có nhi u nh t là hai nghi m không âm. Nh ta đã nói trên, ư x = 1 là m t nghi m. Ta quan tâm đ n ế nghi m còn l i. Ta c n ch ra nghi m còn l i n m trong kho ng 2 1 2 n 1 ; 2 1 b ng cách ch ng 2 n minh f 2 1 2 n 1 1 ) < 0 và f ( 2 2 n ) > 0; vì f ( x ) là hàm liên t c, và kho ng trên không ch m t, do v y ch ra kho ng trên ch a m t nghi m là bài toán đ c ch ng ượ minh. Do đó, v n đ còn l i là ch ng minh f 2 1 2 n 1 1 ) < 0 và f ( 2 2 n ) > 0. Tr c ướ h t, ta ế ch ra f 2 1 2 n 1 ) < 0. Th t v y, Do f 2 1 2 n 1 1 ) = ( 2 n + 1 2 2 1 2 n 1 ) n + 1 = 1 − ( 2 1 1 2 n 1 . 1 1 n 1 . 1 Σ n 1 V y ch ng minh f ( 2 2 n 1 ) < 0 t c là 1 −( 2 2 n 1 ) 2 n 1 < 0 hay 1 < Ta vi t l i thành : ế 2 2 n 1 2 n 1 . n 1 . 1 Σ n n 1 < . 1 1 Σ . B t đ n g th c này đúng theo b t đ n g th c Bernoulli (v i 1 > 2 . 1): 2 n ) ( − ( − ( − ( − ( − ) − ( − ) n 1 2 2 < 2 2 n 1 . Chia c hai v ế cho ta 1 2 n
Image of page 62

Subscribe to view the full document.

1 Σ . . 1 ΣΣ n 2 n . 1 Σ n 1 n n 1 n . 1 Σ n 1 n 1 1 Ta ch ng minh: f . 2 1 Σ > 0 t ư ơ ng đ ư ơ ng v i . 1 Σ n + 1 . 1 Σ n . 1 Σ n 1 . 1 Σ n 1 n . 1 Σ n minh. Bài toán 18(USAMO 1997 [9]) Cho dãy s nguyên không âm a 1 , a 2 , · · ·, a 1997 th a mãn : a i + a j a i + j a i + a j + 1 v i m i i , j 1 và i + j 1997. Ch ng minh r ng t n t i m t s th c x sao cho a n = | nx v i 1 n 1997 . L i gi i Ta ph i ch ra x ∈ [ a n , a n + 1 ] . Do v y ch ra s t n t i c a x v i 1997 ph n t c a dãy v i các đo n là r i nhau, t c là m , n , a n + 1 a m . Ta ch ng minh b ng quy n m n p theo m + n . Tr ng ườ h p m + n = 2 hay m = n = 1 b t đ ng th c là hi n nhiên. N u ế m = n b t đ ng th c hiên nhiên đúng. N u ế n > m , ta s d ng thu t toán n = mq + r , v i r < n . Do đó m + r < n + m ta s d ng gi thi t quy n p ế a r + 1 a m −→ a mq r + 1 qa m + a r + 1 = qa m + r .
Image of page 63
Image of page 64
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes