De equil ıbrio φ pode ser encontrado usando a equac

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de equil´ ıbrio Φ 0 pode ser encontrado usando a equa¸c˜ ao de Poisson 2 Φ 0 = 4 πGρ 0 , e as condi¸c˜ oes de contorno no infinito. Perturbamos, agora, o equil´ ıbrio ρ = ρ 0 + ρ 1 P = P 0 + P 1 Φ = Φ 0 + Φ 1 v = v 1 (23.469) onde as fun¸c˜ oes com subscrito 1 dependem do espa¸co o do tempo e j´a usamos v 0 = 0. Substituindo 23.469 em 23.465, 23.466, 23.467 e 23.468, e assumindo 508
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que as perturba¸c˜ oes s˜ao isot´ ermicas, isto ´ e, que a velocidade do som n˜ao ´ e perturbada, obtemos as seguintes rela¸c˜ oes em primeira ordem: 2 Φ 1 = 4 πGρ 1 (23.470) ∂v 1 ∂t = -∇ Φ 1 + v 2 s ρ 1 ρ 0 (23.471) ∂ρ 1 ∂t + ρ 0 ∇ · v 1 = 0 (23.472) Esse ´ e um sistema de equa¸c˜ oes diferenciais lineares e homogˆ eneo, com co- eficientes constantes. Sem perda de generalidade, podemos considerar per- turba¸c˜ oes que se propagam apenas em uma dada dire¸c˜ ao, por exemplo x . Podemos, portanto, assumir que existem solu¸c˜ oes proporcionais a exp[ i ( kx + wt )], de modo que ∂x = ik ∂y = ∂z = 0 ∂t = iw e definindo v 1 x = v 1 , v 1 y = v 1 z = 0, obtemos: wv 1 + kv 2 s ρ 0 ρ 1 + k Φ 1 = 0 (23.473) 0 v 1 + 1 = 0 (23.474) 4 πGρ 1 + k 2 Φ 1 = 0 (23.475) Esse conjunto de equa¸c˜ oes ter´a solu¸c˜ ao n˜ao-nula se o determinante fl fl fl fl fl fl fl w kv 2 s ρ 0 k 0 w 0 0 4 πG k 2 fl fl fl fl fl fl fl ´ e nulo. Lembrando que se A ´ e a matrix A = fl fl fl fl fl fl a b c d e f g h i fl fl fl fl fl fl det( A ) = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg obtemos, portanto, a rela¸c˜ ao de dispers˜ao: w 2 = k 2 v 2 s - 4 πGρ 0 (23.476) 509
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Para n´umeros de onda k suficientemente grandes, o lado direito da rela¸c˜ ao de dispers˜ao (23.476) ´ e positivo, e w ´ e real, e as perturba¸c˜ oes variam perio- dicamente no tempo. Como a amplitude n˜ao aumenta, o equil´ ıbrio ´ e est´avel em rela¸c˜ ao a essas perturba¸c˜ oes de n´umero de onda grande. Nesse caso, n˜ao a colapso da nuvem. No limite k → ∞ , a rela¸c˜ ao de dispers˜ao (23.476) resulta em w 2 = k 2 v 2 s , que corresponde a ondas de som isot´ ermicas. Nesse caso, a gravidade n˜ao ´ e importante, e qualquer compress˜ao ´ e restaurada pelo aumento de press˜ao, com a perturba¸c˜ ao viajando pelo meio com a velocidade do som. Se k 2 < 4 πGρ 0 /v 2 s , o autovalor w ´ e da forma ± , onde ζ ´ e real. Por- tanto, existem perturba¸c˜ oes proporcionais a exp( ± ζt ) que crescem exponen- cialmente com o tempo, de modo que n˜ao h´a equil´ ıbrio, e a nuvem colapsa. Definimos, portanto, um n´umero de onda caracter´ ıstico k 2 J 4 πGρ 0 v 2 s ou o chamado comprimento de onda de Jeans λ J 2 π k J λ J = π 0 1 2 v s (23.477) de modo que quando k < k J -→ λ > λ J as perturba¸c˜ oes s˜ao inst´aveis. A condi¸c˜ ao de instabilidade λ > λ J ´ e chamada de crit´ erio de Jeans. Para escalas maiores do que o comprimento de Jeans, a gravidade sobrepassa a press˜ ao, e a nuvem colapsa, ou seja, depois de uma pequena compress˜ao externa, a atra¸c˜ ao gravitacional ´ e maior do que a press˜ao do g´as e a nu- vem colapsa. Se estimarmos w na equa¸c˜ ao (23.476) somente pelo termo da gravidade, que ´ e muito maior do que o termo da press˜ao ( k 2 v 2 s ), obtemos iw ( 0 ) 1 / 2 , correspondendo a uma escala de tempo τ din ( 0 ) - 1 2 , o tempo de queda livre.
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