19 determinar las constantes a y b para que la

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19. Determinar las constantes a y b para que la integral tome el valor menor posible si a) f(x) = x'; b) ¡(x) = (x' + 1)-1. 20. Seaf(x,y) = Ax 2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + Fen donde A > O y B2 < AC. a) Demostrar que existe un punto (Xl, YI) en el que f tiene un mínimo. [Indicación. Transformar la parte cuadrática en una suma de cuadrados.] b) Demostrar quef(xI'YI) = DXI + Ey¡ + F en ese mínimo. e) Demostrar que A B D 1 f(XI'YI) = AC _ B2 B C E D E F 21. Método de los mínimos cuadrados. Dados n números distintos x , ... , x; y otros n nú- meros y" ••• , y. (no necesariamente distintos), es en general imposible encontrar una recta f(x) = ax + b que pase por todos los puntos (x" YI), esto es, tal que f(x,) =y, para cada i. No obstante, podemos encontrar una función lineal con la que el «error cua- drático total»
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Extremos condicionados 383 sea mínimo. Determinar los valores de a y b para que eso ocurra. 22. Extender el método de los mínimos cuadrados a E,. Esto es, hallar una función lineal f(x, y) = ax + by + e que minimice el error cuadrático total n E(a, b, e) = ! [[(Xi, Yi) - Zi]2, i=l donde (Xl, y.) son n puntos distintos dados y z. , ... , z. son n números reales dados. 23. Sean z" ... , z, n puntos distintos en un m-espacio. Si X E Rm, definamos 1 n Demostrar que f tiene un mínimo en el punto a = ¿ Zk (centroide). k=l 24. Sea a un punto estacionario de un campo escalar f con derivadas parciales segundas en una n-bola B(a). Demostrar que f tiene un punto de ensilladura en a si por lo menos dos elementos de la diagonal principal de la matriz hessiana H(a) tienen signos opuestos, 25. Comprobar que el campo escalar f(x, y, z) = x 4 + y4 + Z4 - 4xyz tiene un punto esta- cionario en (1,1,1), Y determinar la naturaleza de ese punto estacionario calculando los autovalores de su matriz hessiana. 9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange Iniciamos esta sección con dos ejemplos de problemas de extremos condi- cionados. EJEMPLO 1. Dada una superficie S que no pase. por el origen, determinar los puntos de S más próximos al origen. EJEMPLO 2. Si f(x, y, z) representa la temperatura en (x, y, z), determinar los valores máximo y mínimo de la temperatura en una curva dada e del espacio de tres dimensiones. Ambos ejemplos son casos particulares del siguiente problema general: De- terminar los valores extremos de un campo escalar f(x) cuando x tiene la restric- ción de pertenecer a un subconjunto dado del dominio de f. En el ejemplo 1 el campo escalar cuyo mínimo se desea es la función distancia, [(x, y, z) = (x 2 + yB + Z2)~; el subconjunto restringido es la superficie dada S. En el ejemplo 2 tal subconjunto es la curva dada C.
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384 Aplicaciones de cálculo diferencial Con frecuencia los problemas de extremos condicionados son muy difíciles; no se conoce un método general para resolverlos con toda generalidad. Se utilizan métodos particulares cuando el subconjunto restringido tiene una estructura sen- cilla, por ejemplo, si es una superficie como en el ejemplo 1, o una curva como en el ejemplo 2. Esta sección está dedicada al método de los multiplicadores de La- grange para resolver tales problemas. Ante todo exponemos el método en su forma
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