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N t y t z m x m fy m fz es gs y gs z gi c ei hy ei hz

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N T y T z M x M fy M fz = ES 0 0 0 0 0 0 GS y 0 0 0 0 0 0 GS z 0 0 0 0 0 0 GI c 0 0 0 0 0 0 0 EI Hy 0 0 0 0 0 0 EI Hz x γ y γ z α x α y α z , (2.33) On rappelle ci-dessous la loi de comportement pour la cin´ ematique 2, qui ne diff` ere de la loi de comportement de la cin´ ematique 3 que par trois termes, sur les lignes 2, 3 et 4 : N T y T z M x M fy M fz = ES 0 0 0 0 0 0 G S 0 0 0 0 0 0 G S 0 0 0 0 0 0 G I 0 0 0 0 0 0 0 EI Hy 0 0 0 0 0 0 EI Hz x γ y γ z α x α y α z , (2.34) Erreur classique : Ne pas confondre dans la notation ci-dessus, G le module de Coulomb exprim´ e en Pa , le centre de gravit´ e de l’ensemble de la poutre G (c’est un point, cela n’a pas d’unit´ e), et le barycentre d’une section droite H (c’est un point, cela n’a pas d’unit´ e). Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 049. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. 40 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.30 – Effet du cisaillement p1 41 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.31 – Effet du cisaillement p2 42 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.32 – Les concepts utiles au passage direct du torseur des efforts int´ erieurs au torseur de eplacement. 2.4.5 Formules de Bresse Ce paragraphe concerne les ´ etapes mises en gras dans le synopsis figure 2.32. Utilit´ e : L’utilisation des Formules de Bresse, permet de r´ esoudre des probl` emes : – dans l’espace tridimensionnel, – pour des poutres dont la ligne moyenne n’est pas rectiligne. C’est leur g´ en´ eralit´ e qui leur donne toute leur force, et sont donc ´ etudi´ ees dans ce cours. Erreur classique : Certains d’entre vous ont utilis´ es les ann´ ees pr´ ec´ edentes des formules du type EI Hz d 2 y dx 2 = M fz . Ces formules ne sont pas valables dans les deux cas ci-dessus. Elles peuvent ˆ etre construite par approche successive. Soit une poutre reliant un point A `a un point B, orient´ ee de A vers B, le point courant ´ etant not´ e H. – Supponsons que cette poutre est infiniment rigide. Si le point A subit un torseur de d´ eplacement compos´ e d’un angle de rotation A et d’une translation ~u A , alors le torseur de d´ eplacement au point B est obtenu par la formule de changement de point. ˘ ω B = ˘ ω A , (2.35) ~u B = ~u A + ˘ ω A ~ AB. (2.36) – Supposons cette fois que le point A est immobile mais que seul se d´ eforme un petit tron¸con HH’de longueur ds `a partir du point H. Le torseur de d´ eplacement de H’ est compos´ e de ˘ ω H 0 = ( α x ˘ x + α y ˘ y + α z ˘ z ) ds et d’une translation ~u H 0 = ( x ~x + γ y ~ y + γ z ~ z ) ds . La d´ eformation de ce petit segment implique un torseur de d´
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