Bessel de ordem 0 é i r 2 2 2 1 2 n n n n x j x n

Bessel de ordem 0 é:
(- ∞,∞ ) = I R
2
0
2 2
0
( 1)
( )
2 ( !)
n n
n
n
x
J x
n
∞
=
-
=
∑
FUNÇÃO DE BESSEL Exemplo 3

Sabemos que a soma de uma série
é igual ao limite da sequência das somas
parciais.
FUNÇÃO DE BESSEL

Assim, quando definimos a função de Bessel
no Exemplo 3 como a soma de uma série,
queremos dizer que, para qualquer número
real x ,
onde
0
( ) lim ( )
n
n
J x s x
→∞
=
2
2 2
0
( 1)
( )
2 ( !)
i i
n
n
i
i
x
s x
i
=
-
=
∑
FUNÇÃO DE BESSEL

As primeiras somas parciais são:
0
2
1
2 4
2
2 4 6
3
2 4 6 8
4
( ) 1
( ) 1
4
( ) 1
4 64
( ) 1
4 64 2304
( ) 1
4 64 2304 147,456
s x
x
s x
x x
s x
x x x
s x
x x x x
s x
=
= -
= - +
= - + -
= - + - +
FUNÇÃO DE BESSEL

A figura abaixo mostra o gráfico dessas
somas parciais, que são polinômios.
FUNÇÃO DE BESSEL

FUNÇÃO DE BESSEL


Todas são aproximações para a função J
0
.

Entretanto, as aproximações se tornam
melhores quando mais termos são incluídos.
FUNÇÃO DE BESSEL

A figura abaixo mostra um gráfico mais
completo da função de Bessel.
FUNÇÃO DE BESSEL

FUNÇÃO DE BESSEL

Para as séries de potências que vimos até
agora, o conjunto de valores de x para os
quais a série é convergente tem sido sempre
um intervalo.

Um “intervalo finito” para a série geométrica e a série no
Exemplo 2.

Um infinito (-∞, ∞) no Exemplo 3.

Um intervalo colapsado [0, 0] = {0} no Exemplo 1.
SÉRIE DE POTÊNCIAS

O teorema a seguir, diz que isso, em
geral, é verdadeiro.
SÉRIE DE POTÊNCIAS

Para uma dada série de potências
Existem apenas três possibilidades:
I. A série converge apenas quando x = a .
II. A série converge para todo x .
III. Existe um número real positivo R tal que a série
converge se | x – a | < R e diverge se | x – a | > R .
0
( )
n
n
n
c x a
∞
=
-
∑
SÉRIE DE POTÊNCIAS Teorema 3

O número R no caso (iii) é chamado raio
de convergência da série de potências.

Por convenção, o raio de convergência é
R = 0 no caso (i) e R = ∞ no caso (ii).
RAIO DE CONVERGÊNCIA

O intervalo de convergência de uma
série de potências é o intervalo que
consiste de todos os valores de x para os
quais a série converge.
INTERVALO DE CONVERGÊNCIA

No caso (i), o intervalo consiste apenas de
um único ponto a .
No caso (ii), o intervalo é (- ∞ , ∞ ).
SÉRIE DE POTÊNCIAS

No case (iii), note que a desigualdade
| x – a | < R pode se reescrita como
a – R < x < a + R .
Quando x é uma extremidade do intervalo,
isto é, x = a ± R , qualquer coisa pode
acontecer:

A série pode convergir em uma ou ambas as
extremidades.

Pode divergir em ambas as extremidades.
SÉRIE DE POTÊNCIAS

Então, no caso (iii), existem quatro
possibilidades para o intervalo de
convergência:

( a – R , a + R )

( a – R , a + R ]

[ a – R , a + R )

[ a – R , a + R ]
SÉRIE DE POTÊNCIAS
divergência para
convergência para
R a x < - | |
R a x - | |

Resumimos aqui, o raio e o intervalo de
convergência para cada um dos exemplos já
vistos.
SÉRIE DE POTÊNCIAS

Em geral, o Teste da Razão (ou algumas
vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para
determinar o raio de convergência R .