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Bessel de ordem 0 é i r 2 2 2 1 2 n n n n x j x n

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Bessel de ordem 0 é: (- ∞,∞ ) = I R 2 0 2 2 0 ( 1) ( ) 2 ( !) n n n n x J x n = - = FUNÇÃO DE BESSEL Exemplo 3
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Sabemos que a soma de uma série é igual ao limite da sequência das somas parciais. FUNÇÃO DE BESSEL
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Assim, quando definimos a função de Bessel no Exemplo 3 como a soma de uma série, queremos dizer que, para qualquer número real x , onde 0 ( ) lim ( ) n n J x s x →∞ = 2 2 2 0 ( 1) ( ) 2 ( !) i i n n i i x s x i = - = FUNÇÃO DE BESSEL
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As primeiras somas parciais são: 0 2 1 2 4 2 2 4 6 3 2 4 6 8 4 ( ) 1 ( ) 1 4 ( ) 1 4 64 ( ) 1 4 64 2304 ( ) 1 4 64 2304 147,456 s x x s x x x s x x x x s x x x x x s x = = - = - + = - + - = - + - + FUNÇÃO DE BESSEL
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A figura abaixo mostra o gráfico dessas somas parciais, que são polinômios. FUNÇÃO DE BESSEL
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FUNÇÃO DE BESSEL
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Todas são aproximações para a função J 0 . Entretanto, as aproximações se tornam melhores quando mais termos são incluídos. FUNÇÃO DE BESSEL
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A figura abaixo mostra um gráfico mais completo da função de Bessel. FUNÇÃO DE BESSEL
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FUNÇÃO DE BESSEL
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Para as séries de potências que vimos até agora, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente tem sido sempre um intervalo. Um “intervalo finito” para a série geométrica e a série no Exemplo 2. Um infinito (-∞, ∞) no Exemplo 3. Um intervalo colapsado [0, 0] = {0} no Exemplo 1. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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O teorema a seguir, diz que isso, em geral, é verdadeiro. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Para uma dada série de potências Existem apenas três possibilidades: I. A série converge apenas quando x = a . II. A série converge para todo x . III. Existe um número real positivo R tal que a série converge se | x a | < R e diverge se | x a | > R . 0 ( ) n n n c x a = - SÉRIE DE POTÊNCIAS Teorema 3
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O número R no caso (iii) é chamado raio de convergência da série de potências. Por convenção, o raio de convergência é R = 0 no caso (i) e R = no caso (ii). RAIO DE CONVERGÊNCIA
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O intervalo de convergência de uma série de potências é o intervalo que consiste de todos os valores de x para os quais a série converge. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA
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No caso (i), o intervalo consiste apenas de um único ponto a . No caso (ii), o intervalo é (- , ). SÉRIE DE POTÊNCIAS
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No case (iii), note que a desigualdade | x a | < R pode se reescrita como a R < x < a + R . Quando x é uma extremidade do intervalo, isto é, x = a ± R , qualquer coisa pode acontecer: A série pode convergir em uma ou ambas as extremidades. Pode divergir em ambas as extremidades. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Então, no caso (iii), existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: ( a R , a + R ) ( a R , a + R ] [ a R , a + R ) [ a R , a + R ] SÉRIE DE POTÊNCIAS divergência para convergência para R a x < - | | R a x - | |
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Resumimos aqui, o raio e o intervalo de convergência para cada um dos exemplos já vistos. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Em geral, o Teste da Razão (ou algumas vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para determinar o raio de convergência R .
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