Teorema de jordan dada uma curva fechada ψ no plano

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Teorema de Jordan : Dada uma curva fechada ψ no plano e dois pontos, um interior e outro exterior a ela, qualquer curva ligando os dois pontos intercepta ψ . ψ interseção Teorema : k 5 e k 3,3 não são planares. Prova : Provaremos apenas que k 5 não é planar. Usando a representação 2 3 4 1 o plano fica dividido em quatro regiões. Em qualquer região que coloquemos o quinto vértice, uma aresta que o liga a algum outro vértice cruzará outra aresta (pelo teorema de Jordan). Definição : A subdivisão de uma aresta é uma operação que transforma a aresta (v, w) em um caminho v, z 1 , z 2 , … z k , w sendo k 0, onde os z i são vértices de grau 2 adicionados ao grafo. Um grafo G 2 será uma subdivisão do grafo G 1 quando G 2 puder ser obtido de G 1 através de uma seqüência de arestas de G 1 . Exemplo: G 1 b b a d subdivisão c de G 1 a d c 37
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Teorema de Kuratowski : Um grafo é planar se e somente se ele não contém nenhum subgrafo que é uma subdivisão de K 5 ou K 3,3 . A prova deste teorema está além do alcance deste curso. Um circuito eletrônico pode ser considerado um grafo onde as junções são vértices e as arestas são os fios ligando as junções. Se o grafo correspondente ao circuito é planar, todos os fios podem ser gravados na própria placa. Se o grafo não é planar por causa de apenas uma aresta, esta é um fio normal que deve passar por cima da placa. Isto equivale a colocar esta aresta acima do plano contendo o restante do grafo: fio normal • • fio gravado na placa • • Teorema : Todo grafo planar admite uma representação plana em que todas as linhas são retas. Definição : Um grafo pode ser embebido em uma superfície S se ele pode ser colocado em S de tal forma que quaisquer duas de suas arestas não se cruzam. Teorema : Para cada superfície S, existe um grafo que não pode ser embebido em S. Definição : Uma superfície é uma curva descrita por 2 dimensões, não necessariamente no plano. Ex.: esfera Torus “pneu” Nota : K 5 pode ser embebido no Torus: 38
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• • K 3,3 pode ser embebido na fita de Möbius Teorema : Um grafo pode ser embebido na esfera S se ele pode ser embebido no plano. Existe um algoritmo O (n) para determinar se um grafo é planar ou não, feito por Hopcroft e Tarjan. Teorema : Qualquer grafo pode ser colocado em um espaço de três dimensões. Prova : Coloque os vértices do grafo em uma reta X. Então, para cada aresta, faça um plano que contém X. Arestas distintas devem corresponder a planos distintos. Para cada aresta desenharemos um semicírculo ligando os dois vértices. As arestas não se interceptarão porque elas estarão em planos diferentes.
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