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46 cel 00611692 version 1 27 jul 2011 sous les deux

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46 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Sous les deux chargements, le d´ eplacement du point B vaut ~u B = 0 . 0337 ~ j . Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir les brevets 056 074. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. 2.5.2 ethodes ´ energ´ etiques Les formules de Bresse n´ ecessitent des calculs dans des espaces vectoriels, alors que bien souvent, c’est un d´ eplacement dans une direction, une rotation autour d’un axe ou un ´ etat de d´ eformation qui est cherch´ e. Ce sont des grandeurs scalaires (des tenseurs d’ordre 0). Il est donc int´ eressant de mettre en place une m´ ethode de r´ esolution qui utilise une grandeur scalaire : l’´ energie. Energie de D´ eformation Par d´ efinition l’´ energie de d´ eformation est : W int = 1 2 Z poutre N 2 ES + T 2 y GS y + T 2 z GS z + M 2 x GI c 0 + Mf 2 y EI Hy + Mf 2 z EI Hz ! ds (2.50) Elle correspond `a la somme sur toute la poutre de l’´ energie de d´ eformation dans une section droite. Cette derni` ere est le comoment du torseur des d´ eformations de la section droite et du torseur des efforts int´ erieurs. Le fait que la structure soit ´ elastique, fait apparaˆ ıtre le coefficient 1/2 de part la proportionalit´ e de ces deux torseurs. En utilisant la loi de comportement de la cin´ ematique 3, on peut remplacer le torseur des d´ eformations par son expression du torseur des efforts int´ erieurs. On obtient ainsi la formule 2.50. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 057. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. travail des chargements ext´ erieurs Les chargements ext´ erieurs sont de deux types : – les r´ eactions aux liaisons – les chargements impos´ es Supposons que pour une poutre, un unique chargement soit impos´ e en un point B et que celui-ci soit repr´ esent´ e par un torseur { τ B } dont les deux composantes ~ F et ˘ C croissent proportionellement. Sous l’effet de ce chargement le point B subit un champs de d´ eplacement repr´ esent´ e par le torseur { U B } compos´ e d’une r´ esultante ˘ ω et d’un moment ~u B . Le travail de ce torseur de chargement entre l’´ etat repos et l’´ etat charg´ e est la moiti´ e du comoment des torseurs de chargement et de eplacement : W ext = 1 2 ~ F.~u B + ˘ C. ˘ ω . (2.51) Les r´ eactions aux liaisons, si elles sont parfaites, ne travaillent pas. En effet, soit la composante de d´ eplacement ou de rotation est nulle alors qu’une r´ eaction est pr´ esente, soit la composante de eplacement ou de rotation n’est pas nulle, mais la composante de force ou de couple est nulle.
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