Gi ả s ử các s ố th c ự a 1 a 2 a 100 th a

This preview shows page 56 - 59 out of 115 pages.

Gi s các s th c a 1 , a 2 , · · ·, a 100 th a mãn: (i), a 1 a 2 ≥ · · · ≥ a 100 0, (ii), a 1 + a 2 100, (iii), a 3 + a 4 + · · · + a 100 100.
Image of page 56

Subscribe to view the full document.

Xác đ nh giá tr l n nh t có th c a ị ớ a 2 + a 2 + · · · + a 2 , và tìm t t c các dãy s d ng ươ a 1 , a 2 , · · ·, a 100 đ t giá tr l n nh t đó. ị ớ L i gi i V i i 3, ta có : 0 a i a 2 và do v y a i ( a i a 2 ) ≤ 0 d u b ng x y ra v i a i { 0 , a 2 } . C ng theo v ế 98 b t đ ng th c này v i nhau ta đ c : ượ 100 100 a 2 . a i . i = 3 i = 3 100 Do (iii) nên ta có : a 2 . ai 100 a 2 d u b ng x y ra v i = 3 100 ai = 100 ho c a 2 = 0. i = 3 T ng t v i (i) và (ii) ta có 0 ươ a 1 100 a 2 . Do v y, a 2 ≤ ( 100 a 2 ) 2 , v i d u b ng x y ra khi a 1 = 100 a 2 . Đi u ki n (i) và (ii) kéo theo : 0 a 2 100 a 1 100 a 2 ho c 0 a 2 50 . Do v y, 2 a 2 ( a 2 50 ) ≥ 0 v i d u b ng x y ra khi a 2 = 0 ho c a 2 = 50 . H n n a, ơ 100 100 a 2 = a 2 + a 2 + a 2 ≤ ( 100 a 2 ) 2 + a 2 + 100 a 2 i i = 1 1 2 i 2 i = 3 = 10000 + 2 a 2 ( a 2 50 ) ≤ 10000 . Đ b t đ ng th c x y ra d u b ng thì t t c các d u b ng trên đ u ph i x y ra, đi u đó có nghĩa là ta ph i có: (a) { a 3 , a 4 , · · ·, a 100 ⊆ { 0 , a 2 } ; (b) i = 3 = 100 ho c a 2 = 0; (c) a 1 = 100 a 2 ; (d) a 2 ∈ { 0 , 50 } . Nh ng đi u trên ch th a mãn khi dãy a 1 , a 2 , · · ·, a 100 b ng : 100 , 0 , 0 , · · ·, 0 ho c 50 , 50 , 50 , 50 , 0 , 0 , · · ·, 0 . H n n a các dãy này th a mãn đi u ki n (i), (ii), (iii), và ơ 100 a 2 = 10000 v i m i i i = 1 dãy. H n n a, 10000 là t ng bình ph ng l n nh t, và giá tr l n nh t này ch đ t ơ ươ ị ớ đ c v i hai dãy trên. ượ 1 2 100 i 1 100
Image of page 57
Bài toán 15( Rusia 2000 [8]) Cho s nguyên l a 0 > 5, gi s ả ử dãy a 0 , a 1 , a 2 , · · ·, đó: a n + 1 = n a n 2 n u ế a n ch n v i m i n 0. Ch ng minh r ng dãy trên là không có biên. L i gi i Ta s s d ng quy n p theo n đ ch ra r ng a 3 n là l a 3 n > a 3 n 3 > · · · > a 0 > 5. V i n = 0 kh ng đ nh đúng do gi thi t. ế Gi s r ng kh ng đ nh đúng v i m i n k , ta c n ch ng minh nó đúng v i k + 1. a 3 k là l , a 2 1 ( mod 8 ) và do v y a 3 k + 1 = a 5 4 ( mod 8 ) . Do a 3 k + 1 chia 3 k 3 k a 3 k 1 h t ế cho 4 nh ng không chia h t ư ế cho 8, nên a 3 ( k + 1 ) = + là s l . ố ẻ H n n a, t gi thi t quy n p ta có ơ ế a 2 > 5 a 3 k > 4 a 3 k + 5. Do đó, a 1 = ( a 3 k 5 ) > a 3 k . Đây chính là đi u ph i ch ng minh. Bài toán 16(Shortlist 1988 [5]) 3 ( k + 1 ) 4 3 k Gi s dãy v i các s th c không âm th a mãn ả ử ak 2 ak + 1 + ak + 2 0 và ai 1 v i k 1. Ch ng minh r ng v i k b t kỳ ta có 0 a k a k L i gi i 2 + 1 < k 2 .
Image of page 58

Subscribe to view the full document.

Image of page 59
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes