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24 6 ordenação topológica suponha que existam um

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6 Ordenação Topológica Suponha que existam um conjunto de tarefas que precisam ser executadas, uma por vez. Algumas tarefas dependem de outras e não podem ser começadas antes que estas outras sejam completadas. Todas as dependências são conhecidas e nós queremos fazer um esquema de execução das tarefas que respeite a dependência entre elas. Este problema é chamado ordenação topológica. Para resolvê-lo, usamos um grafo dirigido onde os vértices são as tarefas e existe uma aresta de v para w se w só pode ser executado após a execução de v. O grafo evidentemente deve ser acíclico (por que?). Problema : Dado um grafo acíclico dirigido (Direct Acyclic Graph - DAG) G = (V, E) com n vértices, numere os vértices de 1 até n tal que, se v possui número K, então todos os vértices que podem ser atingidos de v por um caminho dirigido possuem números K. Deste modo a execução das tarefas pode ser feita na ordem 1, 2, 3, … n. No grafo abaixo, os números nos vértices indicam uma ordenação topológica. 1 2 3 4 5 6 7 A hipótese de indução é: HI: Nós sabemos como numerar um grafo com < n vértices de acordo com as restrições acima. Utilizaremos indução finita de uma maneira diferente: tomaremos um grafo com n vértices e removeremos um vértice com alguma característica especial. Então teremos um grafo com n - 1 arestas e aplicaremos a HI. Depois adicionamos novamente o vértice removido (com suas arestas). O caso base é n = 1 que é trivial. Considerando o caso geral, grafo com n vértices, removemos um vértice e aplicamos a hipótese de indução. O vértice a ser removido é aquele que não possui dependentes, isto é, nenhuma aresta “chega” a ele. Este vértice possui grau de entrada 0. De acordo com lema 1 (provado adiante) este vértice sempre existe. Após encontrar este vértice, o numeramos com 1 e o removemos do grafo juntamente com as arestas adjacentes. Então aplicamos a HI para os n - 1 vértices restantes usando números de 2 a n. Observe que estes vértices podem formar mais de um grafo não importa. A HI pode ser aplicada em todos estes grafos porque eles satisfazem a hipótese inicial são acíclicos dirigidos. Complexidade: cada vértice e cada aresta é usada um número constante de vezes. Então, a complexidade é O ( E + V ). Lema 1 : Um grafo acíclico dirigido sempre contém um vértice com grau de entrada 0, isto é, um vértice sem dependências. 25
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Prova : Suponha o contrário, isto é, todos os vértices possuem grau de entrada 0 o que significa que existe pelo menos uma aresta que leva a cada vértice do grafo. Neste caso, tomando um vértice qualquer, poderíamos caminhar no sentido oposto à direção das arestas sem nunca ter que parar, já que sempre existe aresta que chega a cada vértice. Como o número de vértices é finito, em algum momento chegaremos a um vértice em que já passamos antes. Neste caso teremos um ciclo, o que é impossível já que o grafo é acíclico.
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