330 uma derivac ao mais formal usa a definic ao de

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Uma deriva¸c˜ ao mais formal usa a defini¸c˜ ao de fluxo, F , que ´ e o vetor do fluxo de energia total (energia por unidade de ´area por unidade de tempo), e ε a energia total gerada perto do ponto r , por todas as fontes, por unidade de massa e por unidade de tempo. O estado estacion´ario (invariˆ ancia) requer que: I S F · ds = Z V ρεdV, onde ds ´ e o elemento de ´area, e dV o elemento de volume. Pelo teorema da divergˆ encia, ∇ · F = ρε. Assumindo simetria esf´ erica, F ´ e somente radial, de modo que: ∇ · F = 1 r 2 d dr ( r 2 F ) = 1 4 πr 2 d dr ( 4 πr 2 F ) = ρε. Como L r 4 πr 2 F , temos: dL r dr = 4 πr 2 ρε, reproduzindo a equa¸c˜ ao (23.142), que representa a terceira das condi¸c˜ oes b´asicas que devem ser obedecidas no interior da estrela. A equa¸c˜ ao (23.142) precisa ser modificada para as fases curtas, mas cr´ ı- ticas, da evolu¸ ao estelar em que as mudan¸cas da estrutura interna s˜ao t˜ao r´apidas que as varia¸c˜ oes nos dois reservat´ orios menores de energia estelar – t´ ermica e gravitacional – s˜ao importantes. Nessas fases, n˜ao podemos esperar que o fluxo carregue para fora do volume exatamente a energia gerada por segundo por rea¸c˜ oes nucleares dentro do volume, como expresso pela rela¸c˜ ao (23.142). Espera-se que a energia perdida pelo fluxo, a energia gerada pelas rea¸c˜ oes nucleares e o trabalho exercido pela press˜ao, juntos, determinem a taxa de mudan¸ca da energia interna do volume. A energia interna por unidade de massa de um g´as ideal ´ e dada por 3 k 2 m T . O trabalho exercido pela press˜ao ´ e dado por - PdV , onde o volume espec´ ıfico pode ser substitu´ ıdo pelo seu rec´ ıproco, a densidade. A energia nuclear liberada por unidade de massa, por unidade de tempo, ´ e, por defini¸c˜ ao, ε . A perda ıquida de energia, por uma camada esf´ erica de espessura unit´aria, ´ e dL r /dr , que precisa ser dividida pela massa da camada, 4 πr 2 ρ para dar a perda por unidade de massa. Portanto: d dt 3 2 k m T = - P dV dt + ε - 1 4 πr 2 ρ dL r dr . 331
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Como o volume espec´ ıfico V ´ e dado por: V 1 ρ -→ dV = - 1 ρ 2 -→ - PdV = + P ρ 2 dρ, d dt 3 2 k m T = + P ρ 2 dt + ε - 1 4 πr 2 ρ dL r dr . Usando a equa¸c˜ ao de estado de um g´as ideal (23.101), podemos escrever: P = k m ρT -→ k m T = P ρ , d dt 3 2 P ρ - P ρ 2 dt = ε - 1 4 πr 2 ρ dL r dr . Como 3 2 ρ 2 3 d dt ˆ P ρ 5 3 ! = 3 2 ρ 2 3 " 1 ρ 2 3 d dt P ρ + P ρ d dt ˆ 1 ρ 2 3 !# = 3 2 d dt P ρ + 3 2 ρ - 1 3 P - 2 3 1 ρ 5 3 dt = 3 2 d dt P ρ - P ρ 2 dt . ´ e igual ao termo da esquerda, podemos escrever: 3 2 ρ 2 3 d dt ˆ P ρ 5 3 ! = ε - 1 4 πr 2 ρ dL r dr , ou dL r dr = 4 πr 2 ρ " ε - 3 2 ρ 2 3 d dt ˆ P ρ 5 3 !# (23.143) Essa equa¸c˜ ao deve ser usada em lugar da equa¸c˜ ao (23.142) durante as fases em que as mudan¸ cas evolucion´ arias s˜ao r´apidas. Ela ´ e idˆ entica `a (23.142) nas fases normais, em que as mudan¸cas s˜ao t˜ao lentas que o termo com a derivada temporal na equa¸c˜ ao (23.143) pode ser ignorado. At´ e agora, somente consideramos a condi¸c˜ ao que o fluxo de energia deve obedecer para balan¸car a produ¸c˜ ao de energia. Fisicamente, entretanto, o fluxo ´ e determinando pelos mecanismos de transporte de energia, que po- dem ser condu¸c˜ ao (transporte de energia atrav´ es dos corpos), convec¸c˜ ao 332
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