Para resolver este problema por indução o caso base

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Para resolver este problema por indução, o caso base é encontrar x dado acima, isto é, encontrar o vértice mais próximo de v. A hipótese de indução é: HI: Dado um grafo G = (V, E), sabemos como encontrar os K vértices que estão mais próximos de v e os comprimentos dos caminhos de v a estes vértices. O nosso problema agora é como estender a HI para mais de um vértice. Isto é, admitindo a HI para K, que vértice devemos acrescentar para provar a hipótese para K + 1. Seja V k o conjunto contendo v e os K vértices mais próximos de v no grafo. Queremos encontrar um vértice w que é o mais próximo de v entre os vértices G - V k e encontrar o menor caminho de v a w. O menor caminho de v a w só pode passar por vértices de V k . Ele não pode incluir um vértice y que não está em V k por que então o caminho (v, y) seria menor que (v, w) e y seria mais próximo de v que w. V k V k v v G - V k y w w 34
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Então w é ligado a um elemento de V k por uma única aresta. Considere agora todas as arestas (u, z) tal que u V k e z G - V k . V k v u G - V k z Cada aresta (u, z) define um caminho v … u, z. Um dos vértices z é w, o vértice mais próximo de v dentre todos aqueles fora de V k . Nós tomaremos todos estes caminhos e escolheremos o menor dentre eles. Deste modo podemos acrescentar um vértice a V k estendendo a HI de K para K + 1. O vértice escolhido é o w. Segue do raciocínio acima que o vértice w adicionado a V k é o K + 1 mais próximo de V. O conjunto resultante é V k+1 que realmente contém os (K + 1) vértices mais próximos de V. O algoritmo começa com V 1 = {v} e a cada passo adiciona a V k o vértice w tal que f(w) é o menor valor dentre f (y), y G - V k . A função f é dada por: f (y) = distância (v, u) + comprimento (u, y) onde u e y são vértices da fronteira entre V k e G - V k sendo que u V k e y G - V k . Exemplo: V 1 V 2 v v 5 8 5 8 a c a c 2 10 8 2 10 8 d 9 d 9 1 f 1 f 12 3 b 12 12 3 b 12 g e g e f(d) = dist (d, a, v) = 7 f(e) = dist (e, a, v) = 14 f(c) = dist (c, v) = 8 f(b) = dist (b, v) = 10 35
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V 3 V 4 v v 5 8 5 8 a c a c 2 10 8 2 10 8 d 9 d 9 1 f 1 f 12 3 b 12 12 3 b 12 g e g e f(g) = dist (g, d, a, v) = 19 f(g) = dist (g, d, a, v) = 19 f(e) = dist (e, a, v) = 14 f(e) = dist (e, a, v) = 14 f(c) = dist (c, v) = 8 f(b) = dist (b, v) = 10 f(b) = dist (b, v) = 10 f(f) = dist (f, c, v) = 16 V 5 V 6 v v 5 8 5 8 a c a c 2 10 8 2 10 8 d 9 d 9 1 f 1 f 12 3 b 12 12 3 b 12 g e g e V 7 V 8 v v 5 8 5 8 a c a c 2 10 8 2 10 8 d 9 d 9 1 f 1 f 12 3 b 12 12 3 b 12 g e g e 36
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9 Planaridade Um grafo planar é aquele que pode ser desenhado no plano de tal forma que duas arestas quaisquer não se interceptam. Exemplo: (a) (b) (c) Observe que, apesar de duas arestas de (a) cruzarem, este grafo é planar porque ele pode ser transformado no desenho (b).
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