P q a b c a 2 247 matemáticas si una función es

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P Q a b c a
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2 247 Matemáticas Si una función es creciente en un intervalo, ésta puede tener cualquier tipo de concavidad, igualmente sucede con una función decreciente. En consecuencia, tenemos: función creciente, como la derivada nos proporciona la pendiente de la recta creciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva. función decreciente; aquí las pendientes de las rectas tangentes están decreciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva. Sea una función f derivable en un intervalo I f es: Cóncava hacia arriba si f es creciente en I . Cóncava hacia abajo si f es decreciente en I . Como la f mide la razón de cambio de la pendientede la recta tangente a la curva de la función f ; entonces, si f > 0 en el intervalo I , las pendientes de las rectas tangentes de f crecen, por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en I . Si f < 0, las rectas tangentes decrecen y la función es cóncava hacia abajo en I . Se establece entonces el siguiente criterio para la prueba de concavidad: Si f > 0 en el intervalo I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . Si f < 0 en el intervalo I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . Ejemplo 7 Analicemos la concavidad de la parábola y = x 2 Solución: calculamos la segunda derivada: como y = 2 x, entonces y = 2 que es siempre positiva, lo que significa que la parábola es cóncava hacia arriba.
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248 Unidad 6 Figura 6.12. y = x 2 puntos P y Q 6.11 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en P , y de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q . Los puntos P y Q Ejemplo 8 Dada la función f x x x ( ) 1 3 9 3 3 : a) Analicemos su concavidad. c) ¿Cuáles son los extremos locales? Solución: la primera derivada de la función es: f ( x ) = x 2 –9 La segunda derivada es f ( x ) = 2 x a) La concavidad es hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva, es decir, cuando: f ( x ) = 2 x > 0 , x > 0 La concavidad es hacia abajo cuando la segunda derivada es negativa, es decir, cuando: f ( x ) = 2 x < 0 , x < 0
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2 249 Matemáticas f ( x ) = 2 x = 0, x = 0 Luego en x c) En los extremos locales la primera derivada se anula. Esto es: f ( x ) = x 2 9 x 2 – 9 = 0 ( x + 3) ( x – 3) = 0 x = – 3, x = 3 Como la primera derivada en – 4 es positiva, en 0 es negativa y en 4 es caracterizar los valores críticos: En –3 se tiene (+) (–), luego en x = –3 hay un máximo; en 3 se pasa de (–) (+), luego en x = 3 hay un mínimo. Figura 6.13. f x x x ( ) 1 3 9 3 3 Intervalos de concavidad: Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el siguiente procedimiento: 1. Calcular f 2. Determinar los valores de x para los cuales f Creciente Decreciente Creciente + +
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250 Unidad 6 El criterio de la segunda derivada. Sea c un valor crítico de f , es decir, f ( c ) = 0 y f existe, entonces: Si f ( c ) > 0, entonces f tiene un mínimo local en x = c . Si f ( c ) < 0, entonces f tiene un máximo local en x = c .
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  • Punto, Curva, Derivada, Pendiente, Concavidad, 500 pesos

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