Utilizar el teorema del valor medio para demostrar

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Utilizar el teorema del valor medio para demostrar que I es constante en B(a). b) Suponer que f'(x; y)= O para un vector lijo y y todo x en B(a).¿Qué puede decirse de I en este caso? 21. Un conjunto S de R" se llama convexo si para todo par de puntos a y b de S el segmento de recta que une a con b pertenece también a S; dicho de otro modo, ta + (l - t)h E S para cada t del intervalo O :5 t :5 1. a) Demostrar que toda n-bola es convexa. b) Si f'(x; y)= O para todo x en un conjunto convexo abierto S y todo y de R", de- mostrar que I es constante en S. 22. a) Demostrar que no existe un campo escalar I tal que f' (a; y) > Opara un vector fijoa y todo vector no nulo y. b) Dar un ejemplo de un campo escalar I talquef'(x~'Y}>O para un vector fijo y y todo vector x, 8.10 Derivadas direccionales y continuidad En la teoría uni-dimensiona1, la existencia de la derivada de una función f en un punto implica la continuidad en aquel punto. Esto se demuestra fácilmente eligiendo un h =1= O Y escribiendo fea + h) - fea) = fea + h) - f(a). h. h Cuando h ~ O el segundo miembro tiende al límite f(a)' O = O Y por tanto fea + h) ~ fea). Esto prueba que la existencia de f'(a) implica la continuidad de f en a. Supongamos que aplicamos el mismo razonamiento a. un campo escalar ge- neral. Supongamos que existe la derivada f' (a; y) para un cierto y. Entonces si h =1= O podemos escribir fea + hy) - fea) = fea + hy) -fea). h. h
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314 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Cuando h ~ O el segundo miembro tiende al límite f'(a; y) . O = O; luego la existencia de f'(a; y) para un y dado implica que limf(a + hy) = fea) h~O para el mismo y. Esto significa que f(x) --+ fea) cuando x --+ a a lo largo de la recta de dirección y que pasa por a. Si f' (a; y) existe para todo vector y, entonces f(x) --+ f(a)cuando x --+ a a lo largo de toda recta que pase por a. Esto parece su- gerir que f es continua en a. Sin embargo, sorprende que esta conclusión no es necesariamente cierta. El ejemplo que sigue muestra un campo escalar que tiene derivada direccional en O en cualquier dirección pero que no es continuo en O. EJEMPLO. Sea f el campo escalar definido en R 2 del modo siguiente: xy2 f(x, y) = 2 + 4 x y si x y6 O, feo, y) = o. Sea a = (O, O) e y = (a, b) cualquier vector. Si a =1= O Y h =1= O tenemos fea + hy) - fea) h f(hy) - feO) f(ha, hb) = h h Haciendo que h ~ O encontramos f'(O;y) = b'La. Si y = (O, b) encontramos, en forma parecida, que 1'(0; y) = O. Por consiguiente 1'( O; y) existe para todas las direcciones y. También, f(x) --+ O cuando x --+ O a lo largo de cualquier recta que pase por el origen. Sin embargo, en cada punto de la parábola x = y2 (excepto en el origen) la función f tiene el valor t. Puesto que existen tales puntos tan próximos al origen como queramos y que f( O) = O, la función f no es continua en O. El ejemplo anterior prueba que la existencia de todas las derivadas direccio- nales en un punto no implican la continuidad en él. Por esta razón, las deriva- das direccionales no constituyen una extensión satisfactoria del concepto uni- dimensional de derivada. Existe una generalización más conveniente que implica la continuidad y, al propio tiempo, nos permite extender los principales
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