Por consiguiente la recta tangente a la curva de

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Por consiguiente la recta tangente a la curva de nivel L(c) en un punto a = (Xl' y¡) tiene la ecuación cartesiana D¡f(a)(x - Xl) + Dd(a)(y - YI) = O. 8.17 Ejercicios 1. En este ejercicio podemos suponer la existencia y continuidad de todas las derivadas que se consideren. Las ecuaciones u=/(x,y), x=X(t), y=Y(t) definen u como función de t, pongamos u=F(t). a) Aplicar la regla de la cadena para demostrar que P'(t) = 01X'(t) + 01 Y'(t) ox oy , donde al/ax y al/ay se han calculado en [X(t), Y(t)]. b) En forma parecida, expresar la derivada segunda F"(t) en función de las derivadas de 1, X e Y. Recuérdese que las derivadas parciales de la fórmula del apartado al son funciones compuestas dadas por 01 ox = Dd[X(t), Y(t)] , 01 . oy = Dd[X(t), Y(t)]. 2. Teniendo en cuenta el ejercicio 1 calcular F'(t) y F"(t) en función de t en cada uno de los siguientes casos particulares: a) I(x,y) = x 2 + y2, X(t) = t, Y(t) = t 2 . b) [t», y) = e XY cos ( xy 2), X(t) = cos t, Y(t) = sen t. e) [t», y) = log [(1 + e X2 )/(1 + e y2 )], X(t) = e, Y(tY = e-t. 3. Calcular en cada caso la derivada direccional de I en los puntos y direcciones que se indican: a) f(x, y, z) =3x - 5y + 2z en (2,2, 1) en la dirección de la normal exterior a la esfera x' + y2 + z' = 9. b) f(x, y, z) = x' - y2 en un punto cualquiera de la superficie r + y' + z' = 4 en la dirección de la normal exterior en dicho punto. e) I(x, y, z) = x' + y' - z' en (3,4,5) a 10 largo de la curva de intersección de las dos superficies 2x' + 2y' - z' = 25 Y x' + y' = z'. 4. a) Hallar un vector V(x, y, z) normal a la superficie
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328 Cálculo dijerencuü en campos escalares y vectoriales en un punto cualquiera (x, y, z) de la superficie (x, y, z) ~ (O, O, O). b) Hallar el coseno del ángulo (J formado por el vector V(x, y, z) y el eje z y deter- minar el límite de cos (J cuando (x, y, z) ~ (O,O,O). 5. Las dos ecuaciones e" cos v = x y e" sen v = y definen u y v como funciones de x e y, sean éstas u = U(x, y) y v = V(x, y). Hallar fórmulas explícitas para Uix, y) y V(x, y), válidas para x > 0, y demostrar que los vectores gradientes 'i1 Uix, y) y 'i1 V(x, y) son perpendiculares en cada punto (x, y). 6. Sea f(x, y) = .yTXyT. a) Comprobar que al/ax y al/ay son cero ambas en el origen. b) ¿Tiene la superficie z = f(x, y) plano tangente en el origen? [Indicación: Considé- rese la sección producida en la superficie por el plano x =y.] 7. Si (xo, Yo,zo) es un punto de la superficie z = xy, las dos rectas z = YOX, y = Yo Y z = XoY, x = xo se cortan en (xo, Yo,zo) y están situadas en la superficie. Comprobar que el plano tangente a esta superficie en el punto (xo, Yo,zo) contiene a esas dos rectas. 8. Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie xyz = el en un punto genérico (zo. Yo, zn). Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por ese plano y los tres planos coordenados es 9a'/2. 9. Hallar un par de ecuaciones cartesianas para la recta que es tangente a las dos super- ficies x' + y' + 2z' = 4 Y z = e"'-71 en el punto (1,1,1). 10. Hallar una constante e tal que en todo punto de la intersección de las dos esferas (x - C)2 + y2 + Z2 = 3 y x 2 + (y - 1)2 + Z2 = 1 los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno al otro.
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