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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 1.1 11 Reelle Zahlen Betrag y . . . . . . . . . . . . . y = |x|. . . . . . . x , f ur x 0 x , f ur x < 0 |x| = | x| = x2 |x| y=x |x y| = |x| |y| und xy = |y| , f ur y 6= 0. |x| |y| |x y| |x| + |y| Dreiecksungleichung |x| := |x| |x a| x y = x ist der Abs
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 6 1 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA Arithmetik und Algebra 1.1 Reelle Zahlen Potenzen, Wurzeln F ur beliebige u, v IR gelten (falls die entsprechenden Ausdr ucke definiert sind, z.B. ist x in IR nur f ur x 0 definiert) folgende Regeln (x0 = 1 f ur x 6= 0): Zahle
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 1.1 13 Reelle Zahlen Gleichung vierten Grades Subst.: x = y a 4 x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 Normalform y 4 + py 2 + qy + r = 0 reduzierte Form z 3 + 2pz 2 + (p2 4r)z q 2 = 0 dabei ist p = b 38 a2 , q =c ab 2 + a3 , 8 r =d kubische Resolvente ac 4 + a2 b
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • FORMELSAMMLUNG F4 Differentiations und Integrationsregeln (u v) = u v + u v Produktregel: partielle Integration: Quotientenregel: Kettenregel: Substitutionsregel: x nx 1 xn x nx ex ln x ax xx sin x cos x tan x cot x arcsin x arccos x arctan x arccot x si
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel 23 P Ellipse (siehe auch Seite 28 ) F1 Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die von zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) eine konstante Abstandssumme (= 2a) haben. F2 |F1 P | + |F2 P | = 2
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 1.1 15 Reelle Zahlen Das HORNERSchema ist ein Rechenverfahren, mit dem man f ur ein Polynom f (x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 an der Stelle x0 mit minimalem Rechenaufwand folgendes berechnet: (1) Funktionswert f (x0 ) (2) Division von f (x) durch den
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2.7 Klassifizierung der Kurven und Flachen zweiter Ord. nach ihren Invarianten 35 2.7 Klassifizierung der Kurven und Fl achen zweiter Ordnung nach ihren Invarianten Invarianten der allgemeinen Gleichung der Kurven zweiter Ordnung: ax2 + by 2 + 2cxy + 2dx
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 8 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA Pascalsches Dreieck zur Berechnung der Binomialkoeffizienten n k n 0 1 2 3 4 5 6 Binomialkoeffizienten n k ZeilenSumme 1 20 = 1 Jede Zahl ist Summe der zwei links und rechts u ber ihr stehenden Zahlen. 1 z.B.: 6 + 4 = 10 1 1
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • F1 FORMELSAMMLUNG Trigonometrische Funktionen 1 1 1 1 4 3 2 6 0 2 3 3 4 5 6 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 2 6 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2100 2250 2400 2700 3000 3150 3300 3600 1 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 1 2 3 3
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel 2.3 21 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt) gleichen Abstand (Radius) haben. Kreis y b . . . . . . . . . . . . . s . Bezeichnungen: Radiu
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 1.1 Reelle Zahlen 9 r achst nur f ur r IN erkl art wird folgendermaen f ur alle r IR definiert: k zun r k allgemeine Binomialkoeffizienten 5 3 1.4 3 2 3 2 1/2 F ur r IR und k = 1, 2, . . . ist ru ber k r(r1)(rk+1) r k = k! r r 0 =1 1 =r
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2 GEOMETRIE 20 Sehnenviereck c . . d . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . u . . . . . . 1 . . . . . . . d r d Einem Viereck l at sich ein Kreis umbeschreiben b Umkreisradius ru = Fl ache F = 1 p (ab + cd)(ac + bd)(ad + bc) 4F p (s a)(s b)(s c)(s d)
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • FORMELSAMMLUNG F2 Quadratische Gleichung Uberlagerung von Schwingungen x2 + px + q = 0 A1 sin(t + 1 ) + A2 sin(t + 2 ) = A sin(t + ) p A21 + A22 + 2A1 A2 cos(1 2 ) A = tan A1 sin 1 +A2 sin 2 A1 cos 1 +A2 cos 2 (Quadranten beachten!) = Spezialfall: B = A
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 52 4 Vektorprodukt VEKTORRECHNUNG ~a ~b a1 b1 a2 b 3 a3 b 2 ~a ~b = a2 b2 = a3 b1 a1 b3 a3 b3 a1 b 2 a2 b 1 ~b . . . F |~a ~b| = |~a| |~b| sin < )(~a, ~b) ~a Eigenschaften des Vektorproduktes: (1) ~a ~b steht senkrecht auf ~a und ~b. Fl acheninhalt F d
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2 GEOMETRIE 28 Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, f ur die die Summe der Abst ande von zwei festen Punkten (Brennpunkten F1 , F2 ) konstant (= 2a) ist. y . Bezeichnungen: a groe Halbachse (a b) . . . . . . . . . . b kleine Halbachse . a a. b . . li
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2 GEOMETRIE 26 Parabel nach oben/unten ge offnet (siehe auch Seite 30 ) Eine Parabel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu einer gegebenen Geraden L (Leitlinie) und einem im Abstand p > 0 (Halbparameter) zu ihr liegenden Punkt F (Brennpunkt)
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    • 2 GEOMETRIE 24 Hyperbel nach rechts/links ge offnet (siehe auch Seite 29 ) y . . . . . . P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F1 . . F2 . . . . . . Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu zwei gegebenen Punkt
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • Vorwort Diese beliebte Formelsammlung enth alt die wichtigen Formeln zur H oheren Mathematik. Zahlreiche Beispiele erleichtern das Verst andnis und sind so eine wesentliche Hilfe beim: Anfertigen von Ubungen Bew altigen von Klausuren Vorbereiten auf Pr uf
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 14 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA Nullstellen von Polynomen mit ganzen Koeffizienten f (x) = an xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 Ist f (x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten (alle ai ZZ), dann gilt: (1) Jede ganzzahlige Nullstelle ist ein Teiler von a0 . f (x
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    • 2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, f ur die die Differenz der Abst ande von zwei festen Punkten (Brennpunkten F1 , F2 ) konstant (= 2a) ist. Hyperbel y . . . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . . 29 b Bez
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 1.1 7 Reelle Zahlen Fakult at n! Das Produkt der nat urlichen Zahlen von 1 bis n bezeichnet man mit n! Lies: nFakult at. Aus Zweckm aigkeitsgr unden setzt man zusatzlich 0! = 1. Beispiele nFakult at 0! 1! 2! 3! 4! n! = 1 2 3 n (n + 1)! = n! (n + 1) 0! = 1
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    • 2 GEOMETRIE 34 2.6 Fl achen zweiter Ordnung gerader Kreiskegel Volumen Mantelfl ache Oberfl ache Mantellinie Offnungswinkel gerader Kreiszylinder 1 V = 3 r 2 h h FM = rs F = r(r + s) s = r 2 + h2 r = 2 arctan h V = r 2 h FM = 2rh F = 2r(h + r) Volumen Ma
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    • 2 GEOMETRIE 38 Klassifizierung der Kurven/Fl achen zweiter Ordnung A mit Symmetriepunkt Kurve Fl ache 1 u2 + 2 v 2 + g = 0 1 u2 + 2 v 2 + 3 w 2 + g = 0 Wenn M nicht die Nullmatrix ist, mu ein Eigenwert (1 ) ungleich Null sein! Durch evtl. Multiplikation d
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    • F3 FORMELSAMMLUNG Potenzreihen ex = P 1 n x n! = 1+ 1 1 2 x + 2! x 1! P (1)n 2n+1 x (2n+1)! = x 1 3 x 3! + 1 5 x 5! + f ur x IR P (1)n 2n x (2n)! = 1 1 2 x 2! + 1 4 x 4! + f ur x IR P 1 x2n+1 (2n+1)! = x+ 1 3 x 3! + 1 5 x 5! + f ur x IR P 1 x2n (2n)! =
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    • 2.3 Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel 25 Hyperbel nach oben/unten ge offnet (siehe auch Seite 29 ) y Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte P in einer Ebene, die zu zwei gegebenen Punkten F1 , F2 (Brennpunkte) eine konstante Abstandsdifferenz (= 2a) hab
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    • 7. Auflage Alle Rechte vorbehalten. Binomi Verlag Druck Sch utzenstr. 9, 30890 Barsinghausen Internet www.binomi.de EMail [email protected] Telefon Telefax 05105 6624000 05105 515798 BWH GmbH Die Publishing Company, www.bw-h.de Zu beziehen beim Verlag oder
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    • Griechisches Alphabet A alpha I iota P rho B beta K kappa sigma gamma lambda T tau delta M m u u psilon E epsilon N n u phi Z zeta xi X chi H eta O o omicron psi theta pi omega S T t U u V v W w X x Y y Z z Deutsches Alphabet A a B b C D d E e
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 16 1 ARITHMETIK UND ALGEBRA Beispiel F ur das Polynom f (x) = 2x4 x3 x 18 berechne man f (x) f (2), f (2), f (2), f (3) (2), f (4) (2), sowie x2 und die Taylorentwicklung von f an der Stelle x0 = 2 (Umordnung von f nach Potenzen von x 2). Vollst andiges H
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    • MATH 12333 - Spring 2017
    • 2.8 2.8 Hauptachsentransformation 37 Hauptachsentransformation Gleichung der Fl ache: ax2 +by 2 +cz 2 +2dxy+2exz+2f yz+2gx+2hy+2kz+l = 0 g a d e x ~ = (g, h, k), m = l ~ = h , m ~x = y , ~x = (x, y, z), M = d b f , m k e f c z Gleichung der Fl ache in
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